1 2 3 4

4. Sea ABC un triángulo equilátero. Se construye un cuadrado en el exterior del triángulo, usando el lado $\overline{AC}$ . Si D es un punto del interior del $\triangle$ ABC tal que m $\angle$ ADB = 150, y $\angle$ EBC $\cong$ $\angle$ ABD. Calcule el valor de la razón

$\displaystyle {\frac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}}$

Solución
De acuerdo con la figura anterior, como $\angle$ FCA = 90^o y $\angle$ ACB = 60^o, entonces: $\angle$ FCB = $\angle$ ADB = 150^o, y por ser $\angle$ FBC) $\angle$ ABD, se obtiene por ángulo-ángulo que $\triangle$ FCB $\sim$ $\triangle$ ADB, y por lo tanto

$\displaystyle {\frac{AB}{FB}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{BC}}$ (1)

Ahora, como $\angle$ ABD = $\angle$ FBC y $\angle$ DBF = $\angle$ DBF entonces se tiene que
$\angle$ ABF = $\angle$ DBC (2)

De (1) y (2) se deduce por criterio de semejanza lado-ángulo-lado que $\triangle$ ABF $\sim$ $\triangle$ DBC y $\displaystyle {\frac{AB}{DB}}$ = $\displaystyle {\frac{AF}{DC}}$ , entonces
AB^.DC = DB^.AF (3)

Como AF es la diagonal del cuadrado ACFE, se tiene que AF = AC $\sqrt{2}$ , y sustituyendo en (3) se obtiene AB^.DC = DB^.AC $\sqrt{2}$ . Finalmente, la razón pedida se puede escribir entonces como $\displaystyle {\frac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

5. Sea $\triangle$ ABC un triángulo tal que el círculo S de diámetro $\overline{BC}$ pasa por el punto medio M de AB, AC es tangente a S. Sea N el punto diametralmente opuesto a M sobre S. Pruebe que la razón de las áreas entre los triángulos $\triangle$ ABC y $\triangle$ MNC es 2.

Solución

Considere la figura adjunta. Sea O el centro del círculo y x la medida de AM, entonces $\overline{BM}$ = x, porque M es punto medio.

El triángulo $\triangle$ ABC es rectángulo en C, porque AC $\perp$ OC (radio) $\Longrightarrow$ AC $\perp$ BC.
Sea r el radio de S. Como O y M son puntos medios de BC y AB respectivamente, $\overline{OM}$ es la paralela media del triángulo $\triangle$ ABC y AC = 2 OM = 2r, de donde $\triangle$ ABC es un triángulo rectángulo isóceles.
Además, OC $\perp$ MN porque MN || AC y AC $\perp$ OC.
Así:
$\displaystyle {\frac{ABC}{MNC}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{2r\cdot2r}{2}}{\frac{2r\cdot r}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{4r^2}{2r^2}}$ = 2

6. Determine el máximo valor para la expresión:

$\displaystyle {\frac{x^2+y^2+20}{x+y}}$ + $\displaystyle {\frac{x^2+z^2+20}{x+z}}$ + $\displaystyle {\frac{y^2+z^2+20}{z+y}}$
si x + y + z = 8 y xy + xz + yz = 10.

Solución

Primero note que si x + y + z = 8 y xy + xz + yz = 10, entonces:

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz)

$\displaystyle \Longrightarrow$ (x + y + z)² = x² + y² + z² + 20

$\displaystyle \Longrightarrow$ x² + y² + 20 = (x + y + z)² - z²

$\displaystyle \Longrightarrow$ x² + y² + 20 = (x + y)(x + y + 2z)

En forma análoga se tiene que x² + z² + 20 = (x + z)(x + z + 2y) y (y² + z² + 20 = (y + z)(y + z + 2x). Por lo que:

$\displaystyle {\frac{x^2+y^2+20}{x+y}}$ + $\displaystyle {\frac{x^2+z^2+20}{x+z}}$ + $\displaystyle {\frac{y^2+z^2+20}{z+y}}$
se convierte en:
(x + y + 2z) + (x + z + 2y) + (y + z + 2x) = 4(x + y + z) = 32.

1 2 3 4