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10. Sea ABCD un cuadrilátero convexo como el de la figura, en el que:

$\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{NC}{DC}}$

Probar que (PMQN) = (APD) + (BQC).

Solución

Sea r = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ , entonces AM = r AB, y por condición del problema $\displaystyle {\frac{NC}{DC}}$ = r, se sigue NC = r DC.

$\triangle$ ARR $\sim$ $\triangle$ AMR. De la semejanza $\displaystyle {\frac{BR^{\prime}}{MR}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AM}}$ , es decir $\displaystyle {\frac{b-a}{MR}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r}}$ , de donde MR = r(b - a)

m

=

a + RM

=

a + r(b - a)

=

(1 - r)a + rb(**)

(ADN) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a DN

(1)

(MDC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ m DC

(2)

(BNC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b NC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ br DC

(3)

pero DN + NC = DC $\Longrightarrow$ DN = DC - NC = DC - r DC = (1 - r)DC.
Por lo tanto en (1)

(ADN) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a(1 - r)DC

(4)

Luego

(ADN) + (BNC)

=

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a(1 - r)DC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ br DC

=

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ {a(1 - r) + br}DC

=

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ m DC

=

(MDC)

Finalmente

(PMQN)

=

(DMC) - [(DPN) + (NQC)]

=

(ADN) + (BNC) - (DPN) - (NQC)

=

(ADP) + (BQC)

11. Considere los números de la forma:

m = $\displaystyle \underbrace{333\cdots\cdots3}_{\mbox{27$k$ veces}}^{}\,$

Pruebe que m es divisible por 81.
Solución
m es divisible por 3, pues la suma de los dígitos 27^.k^.3 es divisible por 3. Luego:

m = 3^.( $\displaystyle \underbrace{\overbrace{11\cdots1}^{\mbox{\scriptsize 27 veces}} \... ...ts\overbrace{11\cdots1}^{\mbox{\scriptsize 27 veces}}}_{\mbox{$k$\ veces}}^{}\,$ )

$\displaystyle \Longrightarrow$

3( $\displaystyle \underbrace{\overbrace{11\cdots1}^{\mbox{\scriptsize 9 veces}} \o... ...rbrace{11\cdots1}^{\mbox{\scriptsize 9 veces}}}_{\mbox{$3\cdot k$\ veces}}^{}\,$ )

Además, 111111111÷9 = 12 345 679. Luego, reescribiendo la expresión anterior se obtiene:

m = 3^.9^.( $\displaystyle \underbrace{12\,345\,679\;012\,345\,679\,\cdots\,012\,345\,679}_{\mbox{$3\cdot k$ veces}}^{}\,$ ).

Luego, como todos los dígitos se repiten 3k veces, se tiene que el número que se encuentra dentro del paréntesis es divisible por 3. Luego, m es divisible por 81.

12. Determine todos los pares (a, b) de enteros positivos, tales que ab² + b + 7 divide a a²b + a + b.

Solución
Sea $\displaystyle {\frac{a^2b+a+b}{ab^2+b+7}}$ el entero dado.
Luego, $\displaystyle {\frac{b(a^2b+a+b)-a(ab^2+b+7)}{ab^2+b+7}}$ = $\displaystyle {\frac{b^2-7a}{ab^2+b+7}}$ es un entero.
Como b² - 7a < b² < ab² + b + 7 tenemos que $\displaystyle {\frac{b^2-7a}{ab^2+b+7}}$ < 1.
Si $\displaystyle {\frac{b^2-7a}{ab^2+b+7}}$ = 0, se tiene entonces que b² = 7a, donde b es múltiplo de 7 (digamos b = 7t), y (7t)² = 7a nos da a = 7t². Es fácil ver que (a, b) = (7t², 7t) satisface las condiciones del enunciado par todo t entero positivo, tenemos en este caso

$\displaystyle {\frac{a^2b+a+b}{ab^2+b+7}}$ = t.

Si $\displaystyle {\frac{b^2-7a}{ab^2+b+7}}$ < 0, debemos tener b² < 7a, y $\displaystyle {\frac{b^2-7a}{ab^2+b+7}}$ $\displaystyle \leq$ - 1 (pues es un entero), y por lo tanto 7a > 7a - b² $\geq$ ab² + b + 7 $\Longrightarrow$ 7a > ab² $\Longrightarrow$ b² < 7 $\Longrightarrow$ b = 1 o b = 2.
Sea b = 1, $\displaystyle {\frac{b^2-7a}{ab^2+b+7}}$ = $\displaystyle {\frac{1-7a}{a+8}}$ = - 7 + $\displaystyle {\frac{57}{a+8}}$ , y debemos ver que a + 8 divide a 57, como a es un entero positivo $\Longrightarrow$ a + 8 = 19 o a + 8 = 19 o a + 8 = 57 $\Longrightarrow$ a = 11 o a = 49. Para a = 11 y b = 1 tenemos que:

$\displaystyle {\frac{a^2b+a+b}{ab^2+b+7}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{133}{19}}$ = 7

y para a = 49 y b = 1, tenemos:

$\displaystyle {\frac{a^2b+a+b}{ab^2+b+7}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2451}{57}}$ = 43

Si b = 2,

$\displaystyle {\frac{b^2-7a}{ab^2+b+7}}$ = $\displaystyle {\frac{4-7a}{4a+9}}$ .

Como 4 - 7a > - 18 - 8a = - 2(4a + 9), si $\displaystyle {\frac{4-7a}{4a+9}}$ es un entero negativo, debemos tener

$\displaystyle {\frac{4-7a}{4a+9}}$ = - 1 $\displaystyle \Longrightarrow$ 4 - 7a = - 4a - 9 $\displaystyle \Longrightarrow$ a = $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{3}}$ $\displaystyle \notin$ IN

Así, las soluciones son dadas por (a, b) = (7t², 7a), t $\in$ IN; (a, b) = (11, 1) y (a, b) = (49, 1).

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