Sobre la finitud de las series de potencias infinitas de tipo geométrico-polinomiales

Sobre finitud de las series...


Inicio 1 2 3	Versión PDF

Introducción

En el siglo diecisiete las series infinitas no eran muy conocidas, pero a fines de ese siglo algunos matemáticos ya conocían algunos teoremas generales sobre las mismas y la suma de una gran cantidad de ellas.

Por ejemplo, la suma de la "serie telescópica'' $\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty { \frac{2}{k(k+1)}} }$ , la obtuvieron así:

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty { \frac{2}... ... \right) +......} \right]=2\left[ 1 \right]=2} \\ \end{array}\end{displaymath}$

Dunham menciona que el matemático Jacob Bernoulli "no solo probó la divergencia de la serie armónica, sino que también conocía la suma exacta de un número de [series] convergentes''³.

Por ejemplo, Jacob Bernoulli encontró la suma de la serie $\displaystyle{N=\sum_{k=0}^\infty {\frac{\left( {a+ck} \right)}{b}} {\left( {\frac{1}{d}} \right)}^k}\;$ de la siguiente manera⁴:

$\begin{displaymath} N=\frac{a}{b}+\frac{a+c}{bd}+\frac{a+2c}{bd^2}+\frac{a+3c}{bd^3}+\frac{a+4c}{bd^4}+... \end{displaymath}$

Esto lo podemos escribir así:

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} N & = & \displaystyle{\left( \frac{a}{b}... ...style{\left( {\frac{c}{bd^3}+...} \right)+...} \\ \end{array}\end{displaymath}$

Como cada serie entre paréntesis es una serie geométrica, si suponemos que

$\begin{displaymath} S=\left( {1+\frac{1}{d}+\frac{1}{d^2}+\frac{1}{d^3}+...} \ri... ...frac{1}{1-\frac{1}{d}}} \right)=\left( {\frac{d}{d-1}} \right) \end{displaymath}$

Entonces

$\begin{displaymath}\displaystyle{N=\frac{a}{b}\, S+\frac{c}{bd}\, S+\frac{c}{bd^2}\, S+\frac{c}{bd^3}\, S+...}\end{displaymath}$

Es decir que

$\begin{displaymath}\displaystyle{N=\frac{a}{b}\, S+\left[ {\frac{c}{bd}\, S} \ri... ......} \right)}=\displaystyle{\frac{a}{b}\, S+\frac{c}{bd}\, S^2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} N=\displaystyle{\frac{a}{b}\left( {\frac{d}{d-1}} \right)+\f... ...right)=\frac{1}{b}\left( {\frac{ad^2-ad+cd}{(d-1)^2}} \right)} \end{displaymath}$

Dunham menciona también que Bernoulli encontró que:

$\begin{displaymath} \sum_{k=1}^\infty {{ k}^2 { \left( {\frac{1}{2}} \right)}^k } =6 \end{displaymath}$

y que

$\begin{displaymath} \sum_{k=1}^\infty {{ k}^3 { \left( {\frac{1}{2}} \right)}^k } =26\end{displaymath}$

¿Cómo encontró Bernoulli esas sumas?. Esta pregunta me motivó a investigar si había algún procedimiento, parecido a los que usaban los matemáticos de aquella época, que me permitiera encontrar fácilmente la suma de ese tipo de series de potencias infinitas, a las que yo llamo "geométrico-polinomiales'', ya que son series geométricas cuyos coeficientes están dados por una función polinomial de grado $\,n \,$ con coeficientes reales.

Encontré un procedimiento cuya aplicación repetida $\,n \,$ veces (igual al grado de la función polinomial), me permitió convertir la serie infinita en una serie finita. El resultado de esto lo pude expresar por medio de unas fórmulas muy explícitas, que nos dan la serie finita que converge exactamente al mismo valor que la serie infinita original.

A continuación explico, de una manera muy visual y muy típica de la época de Bernoulli, como es este procedimiento de reagrupamiento de los términos de la serie infinita, que es la clave para poder simplificarla y convertirla en una serie finita.