Sobre finitud de las series...		Ing George Braddock  S..

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Series geométrico-polinomiales

 

Llamaremos $\,S\,$ a la serie geométrica dada por

$\,S = 1+ r^1 + r2 + r^3 + r^4 + r^5 + r^6 + \ldots\ \,$ con $\,\,r \, \in \, \mathbb{Q}\, \cap \;]-1,1[\;\;\;\,$ (1)

Supongamos ahora que tenemos una serie $\,N \,$dada por:

$\,N = a + b r^1 + c r^2 + d r^3 + er^4 + fr^5 + \ldots \;\;\;\,$ (2)

Los términos de esta serie los podemos reagrupar así:


$\begin{array}{rcrcl} N & = & 1 + r^1 + r^2 + r^3 + r^4 + r^5 + r^6 + \ldots &... ...\; \; & +(e-d) r^4\,S \\ & & & \\ &\cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array}$

Por lo tanto la ecuación (2) puede ser escrita así:

$$N = a S + (b-a) r^1 S + (c-b) r^2 S + (d-c) r^3 S + (e-d) r^4 S + \ldots$$

Esta manera tan visual de reagrupar los términos de una serie para luego obtener su suma, era muy usada en aquellos tiempos iniciales de la teoría de las series infinitas. Con métodos como ese los matemáticos de fines del siglo XVII empezaron a obtener el valor de muchas sumas infinitas.

El resultado anterior lo formalizaremos ahora por medio del siguiente teorema:

Teorema 1  

Si $\,\,r \, \in \, \mathbb{Q}\, \cap \;]-1,1[\;\;\;\,$, si los coeficientes $a_k$ están en y  $S$ es la serie geométrica dada por $S=1+r+r^2+r^3+...$, entonces se cumple que

$$\sum_{k=0}^\infty {a_k } r^k=a_0 S+\sum_{k=0}^\infty {(a_k -a_{k-1} )r^kS}$$

Demostración: Sabemos que la serie $\,S\,$ converge al valor $\,\displaystyle{\frac{1}{1-r}}\,$ por ser $\,S\,$ la serie geométrica, por lo tanto $\,1=S-rS\,$

Multiplicando ambos lados por $\,a_k\,$ obtenemos que

$\,a_k=a_k S-a_k r S\,$

entonces $\,\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty { {a_k r}^k } =\sum_{k=0}^\infty { {\left( {a_k S - a_k r S} \right) r}^k }}\,$

de donde $\, \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty a_k r^k = \left( a_0S-a_0 r S \right) + \left( a_1 r S- a_1 r^2 S \right)+ \left( a_2 r^2 S - a_2 r^3 S \right) +...}\,$

reagrupando los términos obtenemos:

$\,\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty { {a_k r}^k } = {a_0S+\left( {-a_0 rS+a_1 rS... ...r}^2 S +{a_2r}^2 S } \right)+\left( {{-a_2 r}^3 S + {a_3r}^3 S } \right)+...}\,$

$\, \displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty { {a_k r}^k } = {a_0S+\left({a_1 rS-a_0 rS... ...2 S {- a_1 r}^2 S } \right)+\left( {{a_3 r}^3 S {- a_2 r}^3 S } \right)+...} \,$

que podemos escribir así $\,\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty { {a_k r}^k } = a_0 S +\sum_{k=1}^\infty { {\left( {a_k - a_k-1} \right) r}^k } S}\,$


Ahora veremos un caso particular de una serie infinita geométrico-polinomial, formada por un factor polinomial de grado 3  un factor geométrico $\,\,r \, \in \, \mathbb{Q}\, \cap \;]-1,1[\;\;\;\,$. Demostraremos que esta serie se puede reducir a una serie finita de solo cuatro términos. Después generalizaremos este resultado para cualquier función polinomial $P_n(k)$ de grado $\,n.\,$

Sea $\,M \,$la serie definida por $\,M =\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty {\left( {k^3 {+ 2} } \right)} r^k }\,$

entonces $\,M = 2 + 3r^{1} + 10r^{2} + 29r^{3} + 66r^{4}+ 127r^{5} + \cdots \; \; \;\,$ (3)

Por el Teorema 1, esta serie la podemos escribir así:

$\,M = 2S + (3-2) r^{1}S + (10-3) r^{2}S + (29-10) r^{3}S + (66-29) r^{4}S + (127-66) r^{5}S + \cdots\,$

$\,M = 2S + 1 r^{1}S + 7 r^{2}S + 19 r^{3}S + 37 r^{4}S + 61 r^{5}S +\cdots \;\;\;\,$

$\,M = 2S + r^{1}S [ 1 + 7 r^{1} + 19 r^{2} + 37 r^{3} + 61 r^{4} + \cdots]\; \; \;\,$ (4)

Ahora a la suma que está entre corchetes le aplicamos nuevamente el Teorema 1:

$\,M = 2S + r^{1}S [ S + (7-1) r^{1}S + (19-7) r^{2}S + (37-19) r^{3}S + (61-37) r^{4}S + \cdots]\,$

$\,M = 2S + r^{1}S [ S + 6 r^{1}S + 12 r^{2}S + 18 r^{3}S + 24 r^{4}S +\cdots]\,$

$\,M = 2S + 1 r^{1}S^{2} + r^{2}S^{2 }[ 6 + 12 r^{1} + 18 r^{2} + 24 r^{3} +\cdots] \; \; \;\,$ (5)

Nuevamente a la suma que está entre corchetes le aplicamos el Teorema 1:

$\,M = 2S + 1 r^{1}S^{2} + r^{2}S^{2 }[ 6S + (12-6) r^{1}S+ (18-12) r^{2}S + (24-18) r^{3}S + \cdots] \,$

$\,M = 2S + 1 r^{1}S^{2} + r^{2}S^{2 }[ 6S + 6 r^{1}S+ 6 r^{2}S + 6 r^{3}S +\cdots ] \,$

$\,M = 2S + 1 r^{1}S^{2} + 6 r^{2}S^{3 }+ r^{3}S^{3} [ 6 + 6r^{1}+ 6r^{2} + 6r^{3} + \cdots]\; \;\;\,$ (6)

$\,M = 2S + 1 r^{1}S^{2} + 6 r^{2}S^{3 }+ 6 r^{3}S^{3} [ 1 + r^{1}+ r^{2} + r^{3} + \cdots ]\,$

Ahora como la suma que está entre corchetes es la serie geométrica S, obtenemos finalmente:

$\,M = 2 S + 1 r^1 S^2 + 6 r^2 S^3 + 6 r^3 S^4. \;\;\;\,$ (7)

Vemos pues que la serie infinita (3) se redujo a la serie finita (7) de solo 4 términos, luego que le aplicamos 3 veces seguidas el Teorema 1.

Este resultado lo podemos expresar así: $\, \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \left( k^3 + 2 \right) r^k } = \displaystyle{\sum_ {k=0}^3 \Delta _k^0 r^k S^{k+1} }\,$


Donde $\Delta _k^0$ representa los coeficientes de la fila $\,k\,$ y la columna $\,0\,$ de la "Matriz de Diferencias Finitas'' que a continuación explicaremos como se obtiene.

La serie $\,\sum_{k=0}^\infty { \left( {k^3 {+ 2} } \right)} r^k\,$ es de la forma $\,\sum_{k=0}^\infty {{P_3(k) r}^k }\,$ con $\,P_3(k) = k^3 + 2 \,$.

Para esa función polinomial podemos crear la siguiente Matriz de Diferencias Finitas:

i	k $\to$		0	1	2	3	4	5	6	7	...
0	$P_3 (k)$	$\Delta_0^k$	2	3	10	29	66	127	218	345	...
1	Primeras Diferencias	$\Delta _1^k$	1	7	19	37	61	91	127	...	...
2	Segundas Diferencias	$\Delta _4^k$	6	12	18	24	30	36	...	...	...
3	Terceras Diferencias (constantes)	$\Delta _3^k$	6	6	6	6	6	...	...	...	...
4	Cuartas Diferencias	$\Delta _4^k$	0	0	0	0	...	...	...	...	...
TABLA 1. Matriz de Diferencias Finitas para la función$\;P_3 (k)$ $=k^{3}+2$

Observe que $\Delta _i^k$ se refiere al coeficiente correspondiente a la fila $\,i\,$ y la columna $\,k\,$ de la matriz de diferencias. Los coeficientes $\Delta_0^k$corresponden a los valores de la función $\;P_3 (k)$.

Los coeficientes $\Delta _i^k$ para $i\geq 1$ se obtienen por medio de la siguiente relación de recurrencia: $\Delta _i^k =\Delta _{i-1}^{k+1} -\Delta _{i-1}^k$.

Note que los coeficientes de la serie original (3) son los coeficientes$\Delta_0^k$ de la fila 0 de la matriz de diferencias.

Los coeficientes de la ecuación equivalente (4) están dados por el coeficiente$\Delta _0^0$ de la fila 0 y todos los coeficientes$\Delta _1^k$ de la fila 1 de la matriz de diferencias.

Los coeficientes de la ecuación equivalente (5) están dados por el coeficiente$\Delta _0^0$ de la fila 0, el coeficiente $\Delta _1^0$ de la fila 1 y todos los coeficientes $\Delta _2^k$ de la fila 2 de la matriz de diferencias.

Los coeficientes de la ecuación equivalente (6) están dados por el coeficiente $\Delta _0^0$ de la fila 0, el coeficiente $\Delta _1^0$ de la fila 1, el coeficiente $\Delta _2^0$ de la fila 2 y todos los coeficientes $\Delta _3^k$ de la fila 3 de la matriz de diferencias.

Finalmente los coeficientes de la ecuación (7) están dados por los coeficientes $\Delta _0^0$, $\Delta _1^0$, $\Delta _2^0$ y $\Delta _3^0$ todos correspondientes a la columna 0 de la matriz de diferencias. La suma finita resultante tiene ahora solo 4 términos, ya que los coeficientes de la fila 4 en adelante son todos iguales a cero.

Ahora demostraremos que en general, si la función $P_n(k)$ es una función polinomial de grado $\,n \,$ y $\,\,r \, \in \, \mathbb{Q}\, \cap \;]-1,1[\;\;\;\,$, entonces la serie infinita $\sum_{k=0}^\infty {{P_n (k)} } r^k$ se puede reducir a una suma finita de solo $\,n+1\,$ términos.

En la segunda mitad del siglo XIX el conocido matemático George Boole demostró que si $P_n(k)$ es una función polinomial de grado $\,n \,$, entonces sus $\,n^{avas}\,$ diferencias serán constantes ⁵:

La prueba es sencilla. Si $\,P_n(k) = ak^n +bk^{n-1} +ck^{n-2}+\cdots\,$

Entonces las primeras diferencias serán:

$$\Delta _1^k =Pn(k+1)-Pn(k)$$

$$\Delta _1^k ={a\left( {k+1} \right)}^n +{b\left( {k+1} \right)}^{n-1} +......-{ak}^n -{bk}^{n-1} -\cdots$$

$$\Delta _1^k ={ak}^n +{ank}^{n-1} {+...+bk}^{n-1} {+b\left( {n-1} \right)k}^{n-2} +...-{ak}^n -{bk}^{n-1} -\cdots$$

O sea de la forma $\Delta _1^k =a n k^{n-1} + B_{1 } k^{n-2} + C_{1 } k^{n-3} +\cdots,$ que es una función polinomial de grado $\,n-1\,$ con coeficientes $B_{1}$ y $C_{1}$ constantes.

Similarmente obtenemos que las segundas diferencias serán de la forma:

$$\Delta _2^k ={a n (n-1) k}^{n-2} +{B_{2 } k}^{n-3} +C_{2 } k^{n-4} + \dots$$

que es una función polinomial de grado $\,n-2\,$ con coeficientes $B_{2}$ y $B_{2}$ constantes.

Y así sucesivamente hasta que finalmente las $\,n^{avas}\,$ diferencias serán constantes:

$$\Delta _n^k = a n (n-1)(n-2)......1$$

donde $\,a\,$ corresponde al coeficiente del término de mayor grado del polinomio.

Para la demostración del caso general usaremos la siguiente matriz de diferencias finitas:

$\,i\,$	$\,k\,$ $\,\longrightarrow\,$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,2\,$	$\,3\,$	$\,4\,$	$\,5\,$	$\,\ldots \,$
$\,0\,$	$P_n(k) = \Delta _0^k$	$\Delta _0^0$	$\Delta _0^1$	$\Delta _0^2$	$\Delta _0^3$	$\Delta _0^4$	$\Delta _0^5$	$\,\ldots \,$
$\,1\,$	Primeras Diferencias	$\Delta _1^0$	$\Delta _1^1$	$\Delta _1^2$	$\Delta _1^3$	$\Delta _1^4$	$\Delta _1^5$	$\,\ldots \,$
$\,2\,$	Segundas Diferencias	$\Delta _2^0$	$\Delta _2^1$	$\Delta _2^2$	$\Delta _2^3$	$\Delta _2^4$	$\Delta _2^5$	$\,\ldots \,$
$\,3\,$	Terceras Diferencias	$\Delta _3^0$	$\Delta _3^1$	$\Delta _3^2$	$\Delta _3^3$	$\Delta _3^4$	$\Delta _3^5$	$\,\ldots \,$
$\,.\,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$
$\,.\,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$	$\,\ldots \,$
$\,n \,$	$\,n \,$$^{avas}$ Diferencias$= c_n n!$(constantes)	$\Delta _n^0$	$\Delta _n^1$	$\Delta _n^2$	$\Delta _n^3$	$\Delta _n^4$	$\Delta _n^5$	$\,\ldots \,$
	TABLA 2. Matriz de Diferencias Finitas para una función $\;P_n(k)\;$ de grado $\,n \,$

Sea $\,M = \sum_{k=0}^\infty P_n(k) r^k \,$ con $\,P_n(k)= c_n k^n + c_{n-1} k^{n-1} + \cdots + c_0 \; \; \;\,$ (8)

Entonces $\,M=\sum_{k=0}^\infty \Delta _0^k r^k =\Delta _0^0+\Delta _0^1 r +\Delta _0^2 r^{2 }+\Delta _0^3 r^{3}+\Delta_0^4 r^{4 }+\ldots \,$

Por el Teorema 1 y siguiendo los mismos pasos que en el ejemplo numérico anterior, esta serie la podemos escribir así:

$M =\Delta _0^0 S + (\Delta _0^1 -\Delta _0^0 ) r^{1}S + (\Delta _0^2 -\Delta _... ...+ (\Delta _0^3 -\Delta _0^2 ) r^{3}S + (\Delta _0^4 -\Delta _0^3 ) r^{4}S + ...$

$M =\Delta _0^0 S + r^{1}S \left\{ \right.(\Delta _0^1 -\Delta _0^0 ) + (\Delta ... ...3 -\Delta _0^2 ) r^{2} + (\Delta _0^4 -\Delta _0^3 ) r^{3} + ...\left. \right\}$

Aplicando nuevamente el Teorema 1 a la parte que está entre llaves obtenemos:

$M =\Delta _0^0 S + r^{1}S \left\{ \right.(\Delta _0^1 -\Delta _0^0 ) S + [(\Del... ...-\Delta _0^2 )-(\Delta _0^2 -\Delta _0^1 )]r^{2}S \left. {\mbox{...}} \right\}$

$M =\Delta _0^0 S\vspace{0.5cm}+ (\Delta _0^1 -\Delta _0^0 ) r^{1}S^{2} + r^{2}S... ...3 -\Delta _0^2 )-(\Delta _0^2 -\Delta _0^1 )]r^{1} \left. {\mbox{...}} \right\}$

...............

$M =\Delta _0^0 S+ (\Delta _0^1 -\Delta _0^0 ) r^{1}S^{2 }+ [(\Delta _0^2 -\Delt... ...} [\Delta _n^0 +\Delta _n^1 r^{1}+\Delta _n^2 r^{2}+\Delta _n^3 r^{3} + \cdots]$

Y como todos los coeficientes de la fila $\,n^{ava}\,$ son todos constantes e iguales a $\,\Delta _n^0 = c_n \,n!\,$:

$M =\Delta _0^0 S + (\Delta _0^1 -\Delta _0^0 ) r^{1}S^{2 }+ [(\Delta _0^2 -\Del... ...} [\Delta _n^0 +\Delta _n^0 r^{1}+\Delta _n^0 r^{2}+\Delta _n^0 r^{3} +\cdots ]$

$M =\Delta _0^0 { r}{ }^{0} {S} ^{1}{ +}\Delta _1^0 { r} ^{1} {S} ^{2 }{+ }\Delt... ...} ^{3}{ +{\ldots}{\ldots}{\ldots} +}\Delta _n^0 { }{r} ^{n} {S} ^{n+1 }\;\;\;\;$ (9)

Vemos pues que la serie infinita (8) se redujo a la serie finita (9) que tiene solo $\,n+1\,$ términos.

El resultado anterior lo podemos formalizar por medio del siguiente teorema:

Teorema 2  

Si $\,P_n(k)\,$ es una función polinomial de grado $\,n \,$ con coeficientes reales y $\Delta _i^k$ representa sus i-ésimas diferencias finitas, si $\,\,r \, \in \, \mathbb{Q}\, \cap \;]-1,1[\;\;\;\,$  y $\,S\,$ es la serie geométrica dada por $\,S=1+r+r^2 +r^3 + \cdots\,$ entonces se cumple que:

$$\sum_{k=0}^\infty P_n(k) r^k = \sum_{k=0}^n \Delta _k^0 r^k S^{k+1}$$

Demostración: Al aplicar el Teorema 1 por primera vez obtenemos que:

$\,\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \Delta_0^k r^k = \Delta_0^0 S + \sum_{k=1}^\infty \left(\Delta_0^k - \Delta_0^{k-1}\right) r^k S }\,$

de donde obtenemos que

$\,\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \Delta_0^k r^k = \Delta_0^0 S + r S \sum_{k=1}^\infty \Delta_1^{k-1}) r^{k-1} } \,$

que podemos escribir así:

$\,\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \Delta_0^k r^k = \Delta_0^0 S + r S \sum_{k=0}^\infty \Delta_1^{k}) r^{k} }\,$

Similarmente, después de aplicar $\,n \,$ veces el Teorema 1 tendremos que:

$${\sum_{k=0}^\infty {{\Delta _0^k } } r^k = \sum_{k=0}^{n-1} {{\Delta _k^0 } } r^k S^{k+1} + r^n S^n \sum_{k=0}^\infty {{\Delta _n^k { r}^k }}}\;\;\;$$ (*)

Si $\,n \,$ resulta ser el grado de la función polinomial $P_n(k)$ entonces sus $\,n^{avas}\,$ diferencias $\,\Delta _n^k \,$ serán constantes, razón por la cual la serie infinita de la derecha se simplifica así:

$$\sum_{k=0}^\infty {{\Delta _n^k }} r^k ={\Delta _n^0 } \sum_{k=0}^\infty r^k = \Delta _n^0 S$$

Sustituyendo este valor en la fórmula (*) obtenemos que:

$$\sum_{k=0}^\infty {{\Delta _0^k } } r^k = \sum_{k=0}^{n-1} {... ...a _k^0 }} r^k S^{k+1} + r^n S^n \left( {\Delta _n^0 S} \right)$$

$$\sum_{k=0}^\infty {{\Delta _0^k } } r^k = \sum_{k=0}^{n-1} {{\Delta _k^0 } } r^k S^{k+1} + \Delta _n^0 r^n S^{n+1}$$

que podemos escribir así: $${\sum_{k=0}^\infty {{{ \Delta }_0^k { r}^k } } = \sum_{k=0}^n {{{ \Delta }_k^0 { r}^k { S}^{k+1} } }}$$

Con el Teorema 2 demostramos que si $\,n \,$ es el grado del polinomio $P_n(k)$ entonces:

$$\sum_{k=0}^\infty {{Pn(k)} } { r}^k =\sum_{i=0}^n { \Delta _i^0 } { r}^i S^{i+1} \;\;\;\; (10)$$

Como $\,S= \displaystyle{ \frac{1}{1-r}}\,$ la fórmula anterior puede escribirse así:

$$\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty P_n (k) r^k =\sum_{i=0}^n \... ...0 \frac{r^i }{ \left( 1-r \right)^{i+1} } \;\;\; } \mbox{(11)}$$

Ahora sea $\, r=\displaystyle{\frac{1}{p} }\,$ con $\,p \in \mathbb{Q}\,$ y $\,\left\vert p \right\vert > 1\,$ entonces $\, S=\displaystyle{\frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\frac{p}{p-1}} \,$

y tenemos que $\,r^i S^{i+1}= \displaystyle{\frac{1}{p^i }\frac{p^{i+1} }{{\left( {p-1} \right)}^{i+1} }}=\displaystyle{\frac{p}{{\left( {p-1} \right)}^{i+1} }}\,$

Por lo tanto, también podemos escribir la fórmula (10) así:

$$\sum_{k=0}^\infty {{P_n (k)} } { r}^k =p \sum_{i=0}^n {\frac{{ \Delta }_i^0 }{{\left( {p-1} \right)}^{i+1} }} \;\;\;(12)$$

Asimismo teniendo en cuenta que $S= \displaystyle{\frac{1}{1-r}}$ y por lo tanto $r=\displaystyle{\frac{S-1}{S}}$

Entonces $\,\displaystyle{{ r}^i S^{i+1} =\frac{{\left( {S -1} \right)}^i S^{i+1} }{S^i }={\left( {S -1} \right)}^i S}\,$

Por lo tanto, también podemos escribir la fórmula (10) así:

$$\sum_{k=0}^\infty {{P_n (k)} } { r}^k =S \sum_{i=0}^n {{ \Delta }_i^0 } {\left( {S -1 } \right)}^i \;\;\; (13)$$

Supongamos ahora que queremos calcular la suma de la serie mostrada en (3) pero a partir del tercer término, es decir a partir del índice $\,i=2\,$:

$\, F =\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty { \left( {k^3 + 2 } \right)} r^k = 10r^{2} + 29r^{3} + 66r^{ 4} + 127r^{5}+\ldots }\,$

Esto podemos escribirlo así:

$\, F = \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty { \left[ {{\left( {k+2} \right)}^3 +2} \... ...^2 \sum_{k=0}^\infty { \left[ {{\left( {k+2} \right)}^3 +2} \right]} { r}^k }\,$

Para la función $P_{3}(k)=(k+2)^{3 }+ 2$ podemos crear una matriz de diferencias finitas que sería similar a la mostrada en la Tabla 1, pero sin incluir las 2 primeras columnas. Es decir la columna 0 de esta nueva matriz sería igual a la columna 2 de aquella, la columna 1 de esta nueva matriz seria igual a la columna 3 de aquella y así sucesivamente.

El resultado final al aplicar la fórmula (10) resultará ser la serie finita:

$\,F = r^{2 }(10 S + 19 r^{1}S^{2} + 18 r^{2}S^{3}+ 6 r^{3}S^{4})\,$

O sea que $\,F = 10 r^{2}S + 19 r^{3}S^{2} + 18 r^{4}S^{3}+ 6 r^{5}S^{4 }\;\;\;\;\,$ (14)

Pero desde luego, es más fácil usar directamente la columna 2 de la misma matriz que ya teníamos construida en la Tabla 1 y resolverlo de la siguiente manera:

$$F=\sum_{k=2}^\infty {\left( {k^3 {+ 2} } \right)} r^k = \sum_{k=0}^3 { \Delta _k^2 } { r}^{k+2} S^{k+1}$$

donde $\Delta _k^2$ representa los coeficientes de la columna 2 de la matriz de diferencias.

Con esta fórmula obtenemos para $\,F\,$ el mismo resultado que obtuvimos en (14).

Veamos:

$F= \displaystyle{\sum_{k=0}^3 { \Delta _k^2 } { r}^{k+2} S^{k+1} = 10 r^{2}S + 19 r^{3}S^{2} + 18 r^{4}S^{3}+ 6 r^{5}S^{4 }}$

Este resultado lo generalizaremos formalmente por medio del siguiente teorema:

Teorema 3  

Si $\,P_{n}(k)\,$ es una función polinomial de grado $\,n \,$ con coeficientes reales y $\Delta _i^k$ representa sus i-ésimas diferencias finitas, si $\,\,r \, \in \, \mathbb{Q}\, \cap \;]-1,1[\;\;\;\,$ y $\,S\,$ es la serie geométrica dada por $\,S=1+r+r^2 +r^3 + \cdots\,$ entonces se cumple que:

$$\sum_{k=m}^\infty {{P_n(k)}} r^k = \sum_{k=0}^n {{\Delta _k^m } } r^{k+m} S^{k+1}$$

Demostración:

$$\sum_{k=m}^\infty {{P_n(k)}} r^k =\sum_{k=0}^\infty {{P_n(k+m)} } r^{k+m} =r^m \sum_{k=0}^\infty {{P_n(k+m)} } r^k$$

Por el Teorema 2 y denotando por $\nabla$ la matriz de diferencias de la función $P_n(k+m)$

tenemos que: $${ \sum_{k=m}^\infty P_n(k) r^k =r^m \sum_{k=0}^\infty \nabla _k^0 r^k S^{k+1}}\;\;\;$$ (*)

Ahora, si $\Delta$ denota la matriz de diferencias de la función $P_n(k)$

entonces: $\nabla _k^0 =\Delta _k^m$

ya que la columna 0 de la matriz $\nabla$es igual a la columna$\,m \,$de la matriz $\Delta$, la columna $\,1\,$ de la matriz $\nabla$ es igual a la columna $\,m+1 \,$de la matriz $\Delta$, etc.

Por lo tanto podemos escribir la fórmula (*) así:

$$\sum_{k=m}^\infty {{P_n(k)} } r^k =r^m \sum_{k=0}^\infty {\Delta _k^m } { r}^k S^{k+1}$$

es decir que:

$$\sum_{k=m}^\infty {{P_n(k)}} r^k = \sum_{k=0}^n {{\Delta _k^m } } r^{k+m} S^{k+1}$$

Con el Teorema 3 demostramos que si $\,n \,$ es el grado del polinomio $P_n(k)$entonces:

$$\sum_{k=m}^\infty {{P_n (k)} } { r}^k = \sum_{i=0}^n { \Delta _i^m } { r}^{i+m} S^{i+1} \;\;\; (15)$$

Como $\,S= \displaystyle{ \frac{1}{1-r}}\,$ la fórmula anterior puede escribirse así:

$$\sum_{k=m}^\infty {{P_n (k)} } r^k =\sum_{i=0}^n { \Delta _i... ...frac{{ r}^{i+m} }{{\left( {1-r} \right)}^{i+1} } \;\;\;\; (16)$$

Ahora, teniendo en cuenta que $\, r=\displaystyle{\frac{1}{p} }\,$ y que $\,S=\displaystyle{\frac{p}{p-1}}\,$ resulta que $\,\displaystyle{{ r}^{i+m} S^{i+1} =\frac{1}{p^{i+m} } \frac{p^{i+1} }{{\left( {p-1} \right)}^{i+1} }= \frac{p^{1-m} }{{\left( {p-1} \right)}^{i+1} }}\,$

Por lo tanto, a la fórmula (15) la podemos escribir también así:

$$\sum_{k=m}^\infty {{Pn (k)} } { r}^k =p^{1-m} \sum_{i=0}^n {\frac{{ \Delta }_i^m }{{\left( {p-1} \right)}^{i+1} }}\;\;\;(17)$$

Similarmente, teniendo en cuenta que $r=\frac{S-1}{S}$ resulta que

$\,\displaystyle{r^{i+m} S^{i+1} =\frac{\left(S -1\right)^{i+m} S^{i+1} }{S^{ i+m} }} = \displaystyle{\left( {S -1}\right)^{i+m} S^{1-m}}\,$

Por lo tanto, a la fórmula (15) la podemos escribir también así:

$$\sum_{k=m}^\infty {{P_n (k)} } { r}^k =S^{1-m} \sum_{i=0}^n {{ \Delta }_i^m } {\left( {S -1 } \right)}^{i+m} \;\;\; (18)$$

Estas últimas cuatro fórmulas contienen el resultado final de mi investigación.

Veamos ahora algunos ejemplos del uso de estas fórmulas:

Ejemplo 1  

Jacob Bernoulli encontró la suma de la serie

$$N=\displaystyle{\frac{1}{b}\sum_{k=0}^\infty {\left( {a+ck} \right)} {\left( {\frac{1}{d}} \right)}^k }$$

por un camino mucho más largo y complicado, como vimos al comienzo de este artículo, por lo cual es muy probable que no conociera el procedimiento que empleamos para deducir las fórmulas anteriores.

Usando nuestra fórmula podemos encontrar rápidamente la suma de esa serie:

La matriz de diferencias finitas para la función $P_1 (k)=\left( {a+ck} \right)$ es la siguiente:

$\,i\,$	$\,k\,$ $\,\longrightarrow\,$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,2\,$	$\,3\,$	$\,4\,$	$\,5\,$	$\,{\ldots}\,$
$\,0\,$	$P1 (k)$	$\,a\,$	$\,a+c\,$	$\,a+2c\,$	$\,a+3c\,$	$\,a+4c\,$	$\,a+5c\,$	$\,{\ldots}\,$
$\,1\,$	Primeras $\,= c \times 1!\,$ Diferencias	$\,c\,$	c	c	c	c	c	$\,{\ldots}\,$
	TABLA E1. Matriz de Diferencias Finitas para la función $\,P_1 (k)=(a+ck)\,$

Tenemos que el factor geométrico es $\,r =\displaystyle{\frac{1}{d}}\,$ y por lo tanto $\,p=d\,$.

Por la fórmula (12) tenemos que:

$$N=\frac{1}{b} \sum_{k=0}^\infty {\left( {a+ck} \right)} {\le... ...i=0}^1 {\frac{{ \Delta }_i^0 }{{\left( {d-1} \right)}^{i+1} }}$$

Por lo tanto:

$$\begin{array}{l} \displaystyle{N=\frac{d}{b} \left[ {\left(... ...2 -ad+cd}{{\left( {d-1} \right)}^2 }} \right) }\\ \end{array}$$

Ejemplo 2  

Calcule la suma de la serie $\,\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+7)^3}{-4^{3k+5}}}\,$

Esta serie la podemos escribir así $\,M = \displaystyle{\frac{1}{-4^{5}}\sum_{k=0}^\infty (2k+7)^3 \left( \frac{1}{-64}\right)^k}\,$

La matriz de diferencias finitas para la función polinomial $\,P_3(k) = (2k+7)^3\,$ es la siguiente:

$\,i\,$	$\,k\,$ $\,\longrightarrow\,$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,2\,$	$\,3\,$	$\,4\,$	$\,{\ldots}\,$
$\,0\,$	$P_3 (k)$	$\,343\,$	$\,729\,$	$\,1331\,$	$\,2197\,$	$\,3375\,$	...
$\,1\,$	Primeras Diferencias	$\,386\,$	602	866	1178	...	...
$\,2\,$	Segundas Diferencias	$\,216\,$	264	312	...	...	...
$\,3\,$	Terceras $\,2^3 \times 3! \,$ diferencias	$\,48\,$	48	...	...	...	...
	TABLA E2. Matriz de Diferencias Finitas para la función $\,P_3(k) = (2k+7)^3\,$

Tenemos que el factor geométrico es $\,r =\displaystyle{\frac{1}{- 64}}\,$ y por lo tanto $\,p=- 64\,$.

Por la fórmula (12):

$$M=\frac{1}{{\left( {- 4} \right)}^5 }\sum_{k=0}^\infty {{\le... ...0}^3 {{ \Delta }_i^0 } \frac{1}{{\left( {-65} \right)}^{i+1} }$$

Es decir que:

$$\begin{array}{l} M=\displaystyle{\frac{-64}{-1024}\left[ {\... ...{48}{{65}^4 }} \right)} \right]=- 0.324146623} \\ \end{array}$$

Ejemplo 3  

Calcule la suma de la serie $M=\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty {\frac{{\pi k}^2 - e}{2^k }}}$

Esta serie la podemos escribir así: $M=\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty {\left( {{\pi k}^2 {- e} } \right)} { \left( {\frac{1}{2}} \right)}^k }$

La matriz de diferencias finitas para la función polinomial con coeficientes reales $\,P_2 (k) = \left( \pi k^2 - e \right)\,$ es la siguiente:

$\,i\,$	$\,k \, \longrightarrow\,$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,2\,$	$\,3\,$	$\,\ldots \,$
$\,0\,$	$P_2 (k)$	$\,- e\,$	$\,\pi - e\,$	$\,4\pi - e\,$	$\,9\pi - e\,$	...
$\,1\,$	Primeras Diferencias	$\,\pi \,$	3 $\pi$	5 $\pi$	7 $\pi$	...
$\,2\,$	Segundas $\pi \times 2 !$ diferencias	$\,2\,$ $\,\pi \,$	2 $\pi$	2 $\pi$	2 $\pi$	...
	TABLA E3. Matriz de Diferencias Finitas para la función $\,P_2 (k)=\pi k^{2}- e\,$

Tenemos que el factor geométrico es $\,\displaystyle{r=\frac{1}{2}}\,$ y por lo tanto $\,p=2\,$.

Por la fórmula (12):

$$M=\sum_{k=0}^\infty {{\pi k}^2 } {\left( {\frac{1}{2}} \righ... ... }_i^0 } \frac{1}{1^{i+1} } = 2 \sum_{i=0}^2 {{ \Delta }_i^0 }$$

Es decir que:

$$\begin{array}{l} M=2 \left[ { - e+\pi +2\pi } \right] \\ \par \\ \par M=6\pi - 2e \,\approx \, 13.41299226\\ \end{array}$$

Ejemplo 4  

Calcule la suma de la serie $${ M=\sum_{k=0}^\infty \frac{\left(3k^2+k+3 \right)^3 }{3^k } }$$

La función $\, P_6 (k)= \left( 3k^2+k+3 \right)^3 \,$ es una función polinomial de grado $\,6\,$ cuyas sextas diferencias son constantes e iguales a $\,3^3 6! =19440\,$.

La matriz de diferencias finitas para la función $\,P_6(k)=(3k^2+k+3)^3 \,$ es la siguiente:

$\,i\,$	$\,k\,$ $\,\longrightarrow\,$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,2\,$	$\,3\,$	$\,4\,$	$\,5\,$
$\,0\,$	$P_6 (k)$	$\,27\,$	$\,343\,$	$\,4913\,$	$\,35937\,$	$\,166375\,$	$\,571787\,$
$\,1\,$	Primeras Diferencias	$\,316\,$	4570	31024	130438	405412	1029826
$\,2\,$	Segundas Diferencias	$\,4254\,$	$\,26454\,$	99414	274974	624414	1238454
$\,3\,$	Terceras Diferencias	$\,22200\,$	72960	175560	349440	614040	$\,{\ldots}\,$
$\,4\,$	Cuartas Diferencias	$\,50760\,$	102600	173880	264600	$\,{\ldots}\,$	$\,{\ldots}\,$
$\,5\,$	Quintas Diferencias	$\,51840\,$	71280	90720	$\,{\ldots}\,$	$\,{\ldots}\,$	$\,{\ldots}\,$
$\,6\,$	Sextas $3^3 \times 6 !$ diferencias	$\,19440\,$	19440	$\,{\ldots}\,$	$\,{\ldots}\,$	$\,{\ldots}\,$	$\,{\ldots}\,$
	TABLA E4. Matriz de Diferencias Finitas para la función $P_6 (k)=\left(3k^2+k+3\right)^3$

Tenemos que $\,p=3\,$.

Por la fórmula (12): $${M=\sum_{k=0}^\infty \left(3k^2+k+3 \right)^3\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \sum_{i=0}^6 \Delta_i^0\left( \frac{1}{2^{i+1}}\right)}$$

Es decir que:

$$\begin{array}{l} \displaystyle{M=3\left[ {27\left( {\frac{1... ...} \right. }\\ \par \\ \par {M \; = \; 13679.625} \end{array}$$

Ejemplo 5  

Calcule la suma de la serie $${M=\sum_{k=0}^\infty \frac{\frac{1}{3}k^4+ \frac{3}{4}}{7^k}}$$

La función $P_4 (k) =\frac{1}{3}k^4+ \frac{3}{4}$ es una función polinomial de grado 4, con coeficientes racionales, cuyas cuartas diferencias son constantes e iguales a $\,(1/3) 4!= 8\,$.

La matriz de diferencias finitas para la función $P_4 (k) =\frac{1}{3}k^4+ \frac{3}{4}$ es la siguiente:

$\,i\,$	$\,k\,$ $\,\longrightarrow\,$	$\,0\,$	$\,1\,$	$\,2\,$	$\,3\,$	$\,4\,$	$\,5\,$	$\,6\,$
$\,0\,$	$P_4 (k)$	$\,3/4\,$	$\,13/12\,$	$\,73/12\,$	$\,111/4\,$	$\,1033/12\,$	$\,2509/12\,$	$\,1731/4\,$
$\,1\,$	Primeras Diferencias	$\,1/3\,$	5	65/3	175/3	123	$\,671/3\,$	1105/3
$\,2\,$	Segundas Diferencias	$\,14/3\,$	50/3	110/3	194/3	302/3	$\,434/3\,$	590/3
$\,3\,$	Terceras Diferencias	$\,12\,$	20	28	36	44	$\,52\,$	60
$\,4\,$	Cuartas $\,(1/3)\times 4!\,$ diferencias	$\,8\,$	8	8	8	8	$\,8\,$	8
	TABLA E5. Matriz de Diferencias Finitas para la función$\,P_4 (k)=(1/3)k^4+3/4\,$

Como $S= \displaystyle{\frac{1}{1-r}=\frac{7}{6}}$ y por lo tanto $\,S-1=\displaystyle{\frac{1}{6}}\,$

Por la fórmula (13) tenemos que:

$$\begin{array}{l} \displaystyle{ M=\sum_{k=0}^\infty { \frac... ...t)} \right] }\\ \par \\ \par {M\;=\;1.163065844} \end{array}$$

Ejemplo 6  

Calcule la suma del ejercicio anterior pero sin incluir los primeros 5 términos de la serie:

$$\displaystyle{M=\sum_{k=5}^\infty \frac{\frac{1}{3}k^4+ \frac{3}{4}}{7^k}}$$

Usaremos la misma matriz de diferencias finitas del ejemplo anterior.

Por la fórmula (18) tenemos que:

$$\displaystyle{ M=\sum_{k=5}^\infty { \frac{\left( {\frac{1}... ...i=0}^4 {{ \Delta }_i^5 } {\left( {\frac{1}{6}} \right)}^{i+5}}$$

Por tanto, usaremos los coeficientes de la columna 5 de la Matriz de Diferencias Finitas de la Tabla E5:

	$$\displaystyle{M=\left( {\frac{6^4 }{7^4 }} \right)\left[ {\... ...c{1}{6^8 }} \right)+8\left( {\frac{1}{6^9 }} \right)} \right]}$$
	$\,M=0.017397372\,$

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