Conclusión

En este artículo llamamos "series geométrico-polinomiales'' a aquellas series geométricas cuyos coeficientes están dados por una función polinomial de grado n con coeficientes reales.

Toda serie de potencias infinita geométrico-polinomial, puede convertirse en una serie de potencias finita de solo $\,n+1\,$ términos. Esto lo demostramos formalmente por medio del Teorema 1 que nos muestra como expresar una serie geométrica con relación a las diferencias finitas de sus coeficientes y por medio del Teorema 2 que nos muestra cómo, después de aplicar $\,n \,$ veces el Teorema 1, llegamos a obtener una serie finita con solo $\,n+1\,$ términos, equivalente a la serie infinita original. El Teorema 3 nos permite encontrar cuál es la serie finita equivalente a una serie infinita, cuyo valor inicial para el índice es $\,m \,$ en vez de 0.

En la revista Science del 24 de Junio de 2005 mencionan que el profesor William Dunham, en su nuevo libro "The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue'' proporciona la demostración de Jacob Bernoulli de la suma $\sum_{k=1}^\infty {{ k}^3 { \left( {\frac{1}{p}} \right)}^k }$ . Originalmente la demostración apareció en la obra de Bernoulli "Tractatus de seriebus infinitis earumque summa finita" (Tratado sobre las series infinitas y sus sumas finitas).

Después de consultar el libro de Dunham encontramos que Bernoulli dedujo que

$\begin{displaymath}\sum_{k=1}^\infty {{ k}^3 { \left( {\frac{1}{d}} \right)}^k }=\frac{d\left(d^2+4d+1\right)}{\left(d-1\right)^4} \end{displaymath}$

usando un método muy similar al que vimos para la serie al inicio de este artículo.

Evidentemente Jacob Bernoulli encontró la suma de algunas series infinitas geométrico-polinomiales, por métodos válidos para algunos polinomios particulares, pero no por medio de un método general, válido para cualquier polinomio, como si hicimos nosotros y lo documentamos en este artículo.

Bibliografía

Boole, G. 1960. A Treatise On The Calculus of Finite Differences. Dover Publications, Inc. New York, United States of America. (Republicación del trabajo original por Macmillan and Company en 1872).
Dunham, W. 1999. Euler The Master of Us All. The Mathematical Association of America, United States of America.
Dunham, W. 2005. The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princenton University Press, Princenton, NJ, United States of America.
Dunham, W. 1993. Viaje a través de los genios. Biografías y teoremas de los grandes matemáticos. Ediciones Pirámide, S.A., Madrid, España.
Grabiner, J. V. 2005. Landmarks on the Road to Modern Analysis. Revista Science, Vol 308, pp 1872. The American Association of Science, US.
Spiegel, M. 1971. Calculus of Finite Differences and Difference Equations. Schaum's Outline Series. McGraw-Hill, Inc. (10th printing, 1994), US.

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