Lic. Elsie Hernández S.

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Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

Sea f una función continua con ecuación $y=f(x)$, definida en un intervalo $[a,b]$.
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo $[a,b]$.


 
En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

  1. Creciente en los intervalos $]a,x_{3}[$ , $]x_{5},x_{6}[$

  2. Decreciente en los intervalos $]x_{3},x_{5}[$ , $]x_{6},b[$

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos $(x_{3}, f(x_{3}))$ , $(x_{5},f(x_{5}))$ y $(x_{6},f(x_{6}))$ la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.

 

  Teorema 1
  Sea f una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en el intervalo   abierto $]a,b[$.
  1. Si $f'(x)>0$ para toda x en $]a,b[$, entonces la función f es creciente en $[a,b]$.

  2. Si $f'(x)<0$ para toda x en $]a,b[$, entonces la función f es decreciente en $[a,b]$.
    Demostración: Al final del capítulo.

 


Ejemplos:

  1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(x^2-4x+1)$.

    Para ello calculemos la primera derivada de $f:f'(x)=x-2$.

    Como $f'(x)>0 \Leftrightarrow x-2>0$, o sea si $x>2$, entonces f es creciente para $x>2$.

    Como $f'(x)<0 \Leftrightarrow x-2<0$, o sea si $x<2$, entonces f es decreciente para $x<2$.

    En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

     

     

     

  2. Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación $f(x)=x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}$ con $x\neq0$.

    La derivada de f está dada por $f'(x)=2x- \displaystyle\frac{2}{x^3}$ que puede escribirse como $f'(x)=\displaystyle\frac{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}$

    Como $2(x^2-1)$ es positivo para toda x en $I \! \! R$ entonces:

    $f'(x)>0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x^3} >0$             y


    $f'(x)<0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x^3} <0$


    Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

    Luego: $f'(x)>0$ si $x \in ]-1,0[ \; \cup \; ]1,+\infty[$ por lo que la función f crece en el intervalo $]-1,0[ \; \cup \; ]1,+\infty[$.

    Además: $f'(x)<0$ si $x \in ]-\infty,-1[ \; \cup \; ]0,1[$ de donde la función f decrece en el intervalo $]-\infty,-1[ \; \cup \; ]0,1[$.

    La representación gráfica de la función es la siguiente:

     


  3. Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación $f(x)= \displaystyle\frac{x+1}{x-1}$, con $x\neq 1$.

    La derivada de f es $f'(x)=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^2}$.

    Como $(x-1)^2$ es mayor que cero para x en $I \! \! R$, $x\neq 1$, y además $-2<0$ entonces $f'(x)<0$ para todo x en $I \! \! R$ $(x\neq 1)$, por lo que la función f es decreciente para x en $I \! \! R$, $x\neq 1$. La siguiente, es la representación gráfica de dicha función:

     

 

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