Lic. Elsie Hernández S.

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Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos
de una función

En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.

 

  Teorema 4
 

Sea f una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, que es derivable en todo punto del intervalo abierto $]a,b[$.

Sea c en $]a,b[$ tal que $f'(c) = 0 $ o $f'(c)$ no existe.

a.
Si $f'(x)$ es positiva para todo $x<c$, y negativa para todo $x>c$, entonces $f(c)$ es un valor máximo relativo de $f(x)$.

b.
Si $f'(x)$ es negativa para toda $x<c$, y positiva para toda $x>c$, entonces $f(c)$ es un mínimo relativo de $f(x)$.

c.
Si $f'(x)$ es positiva para todo $x<c$ y también lo es para todo $x>c$; o si $f'(x)$ es negativa para todo $x<c$ y a su vez para todo $x>c$, entonces $f(c)$ no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de $f(x)$.
Prueba: Al final del capítulo.

 

Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:


Máximo relativo en $x=c$

 


Mínimo relativo en $x=c$

 
 
 
 

En $x=c$ no hay ni máximo ni mínimo relativo.
 
 
 
En los siguientes ejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos y por último se aplica el  teorema anterior.

1.
$f(x)=4x-\displaystyle\frac{1}{3}x^3$

Note que f está definida para $x \in I \! \! R$

Como $f'(x)=4-x^2$ entonces $f'(x)=0$ si y solo si $x=2$, ó $x=-2$.

Los valores críticos son $x=2$, y , x=-2.

Determinemos ahora cuándo $f'(x)>0$ y cuándo $f'(x)<0$.

Como $f'(x)=(2-x)(2+x)$, se deben resolver las desigualdades: $(2-x)(2+x)>0$, $(2-x)(2+x)<0$. Nos ayudamos con la tabla siguiente:

 

Como $f'(x)<0$ para $x \in ]-\infty,-2[$ y $f'(x)>0$ para $x \in [-2,2]$ entonces $f(-2)$ es un valor mínimo.

Como $f'(x)>0$ para $x \in ]-2,2[$ y $f'(x)<0$ para $x \in ]2,+\infty[$ entonces $f(2)$ es un valor máximo.

La representación gráfica de la función es la siguiente:


 
Note que $f(-2)=\displaystyle\frac{-16}{3}$ es un mínimo relativo y que $f(2)=\displaystyle\frac{16}{3}$ es un máximo relativo, en el dominio de la función.


2.


En este caso $f'(x)=\displaystyle\frac{(x+1)^2(11x-7)}{3\sqrt[3]{x-1}} $(¡Compruébelo!)

Luego, $f'(x)=0$ si y solo si $x=\displaystyle\frac{7}{11}$, ó, $x=-1$

Además, $f'(x)$ no existe si $x=1$.

Los valores críticos de f son $x=\displaystyle\frac{7}{11}$, $x=1$, $x=-1$.

Como $(x+1)^2$ es positivo para todo $x \in [-1,1]$ entonces para determinar cuando$f'(x)>0$, y cuando $f'(x)<0$, basta con analizar la expresión $\displaystyle\frac{11x-7}{\sqrt[3]{x-1}}$.

Utilizamos la siguiente tabla:


i.
Como $f'(x)>0$ para $x \in \left]-1,\displaystyle\frac{11}{7}\right[$ y como f es continua sobre ese intervalo, entonces $f(x)$ es creciente sobre $\left]-1,\displaystyle\frac{11}{7}\right[$ por lo que $f(-1)\leq f(x)$ si $x\in \left[-1,\displaystyle\frac{11}{7}\right[$.

Por lo tanto $f(-1)=0$ en un valor mínimo relativo de f.
ii.
Como $f'(x)>0$ para $x \in \left]-1,\displaystyle\frac{11}{7}\right[$ y $f'(x)<0$ para $x\in \left]\displaystyle\frac{11}{7},1\right[$, entonces $f\left(\displaystyle\frac{1}{7}\right)=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{16}{49}}$. $\left(\displaystyle\frac{18}{7}\right)^3$ es un valor máximo relativo de f.
iii.
Como $f'(x)<0$ si $x\in \left]\displaystyle\frac{11}{7},1\right[$ y como f es continua sobre $\left]\displaystyle\frac{11}{7},1\right]$ entonces f es decreciente sobre $\left]\displaystyle\frac{11}{7},1\right]$, y por tanto $f(1)\leq f(x)$ cuando $x \in \left]\displaystyle\frac{11}{7},1\right]$. Luego $f(1)=0$ es un valor mínimo relativo de f.

3.
, $x \in [-2,2]$

Se tiene que $f'(x)=\displaystyle\frac{x^3 + 8x}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}$ (¡Compruébelo!)

Ahora, $f'(x)=0$ si y solo si $x(x^2+8)=0$ es decir, si $x=0$.

Los valores críticos de f son $x=0$, $x=-2$, $x=2$, estos últimos por ser extremos del intervalo.

Como $f'(x)=\displaystyle\frac{x(x^2+8)}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}$, y, $x^2+4$, $x^2+8$, y, $\sqrt{x^2+4}$ son expresiones positivas para todo $x \in I \! \! R$ entonces el signo de $f'(x)$ estará determinado por la variación de x.

Luego se tiene:

i.
Como $f'(x)<0$ para $x \in ]-2,0]$ y f es continua en $[-2,0[$ entonces f es decreciente sobre $[-2,0[$. Luego $f(-2)\geq f(x)$ para $x \in [-2,0[$, y $f(-2)=\sqrt{2}$ es un máximo relativo de f.
ii.
Como $f'(x)<0$ para $x \in ]-2,0[$ y $f'(x)>0$ para $x \in ]0,2[$, entonces $f(0)=0$ es un mínimo relativo de f.
iii.
Como $f'(x)>0$ para $x\in ]0,2]$ y f es continua en $]0,2]$ entonces f es creciente en $]0,2]$. Luego $f(2)\geq f(x)$ para $x\in ]0,2]$ y $f(2)=\sqrt{2}$ es un máximo relativo de f.

Ejercicio:

Hacer un estudio similar para:

 

a.

 

 $f(x)=x^2-6x^2+12x-8$
b. $g(x)=\displaystyle\frac{x-2}{x+1}$  ,$x \in [-2,2]$

 
c. $h(x)=x\sqrt{5-x^2}$; $\vert x\vert < \sqrt{5}$

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