Lic. Elsie Hernández S

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Valor máximo y valor mínimo de una función

Si f es una función dada, entonces $f(c)$ es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto $]a,b[$ tal que $a < c < b$ y $f(c)\geq f(x)$ para $x \in ]a,b[$, siendo x un valor del dominio de la función.

Si $f(c)\geq f(x)$ para toda x en el dominio de f, entonces $f(c)$ es el valor máximo de f o máximo absoluto.

Similarmente, $f(c)$ es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto $]a,b[$ tal que $a < c < b$ y $f(c)\leq f(x)$ para $x \in ]a,b[$, con x en el dominio de f.

Si $f(c)\leq f(x)$ para toda x en el dominio de f, entonces se dice que $f(c)$ es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.

Ejemplo:


Considere una función f definida en un intervalo $]c,d[$, cuya representación gráfica es la siguiente:

 

 

 

Note que $f(x_{1})$, es un máximo relativo y $f(x_{3})$ es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida.


Similarmente, $f(x_{4})$ es un valor mínimo relativo y $f(x_{2})$ es el mínimo absoluto de la función en $]c,d[$.

  Teorema 2
 
Sea c un punto interior del dominio de una función f.
Si $f(c)$ es un valor máximo relativo de f y si existe $f'(c)$ entonces $f'(c) = 0 $.

Prueba: al final del capítulo.


Ejemplo:

Considere la función f definida por

 


Su representación gráfica es la siguiente:

 
Puede observarse que cuando x toma el valor de $-2$ entonces la función tiene un valor máximo. En este caso $(-2,3)$ es precisamente el vértice de la parábola con ecuación: $y= \displaystyle\frac{-1}{4}(x^2 + 4x -8)$.

Según el teorema anterior debe cumplirse que $f'(-2)$ es igual a cero.

En efecto, como $f'(x)= \displaystyle\frac{-1}{4}(2x+4)$, al sustituir x por -2 se obtiene que $f'(-2)=\displaystyle\frac{-1}{4}(-4+4)=0$, que era lo que quería comprobarse.

  Teorema 3

Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si $f(c)$ es un valor mínimo  relativo de f y si $f'(c)$ existe, entonces $f'(c) = 0 $.

La demostración es similar a la del teorema anterior.


Ejemplo:
 

Considere la función f definida por:



Su representación gráfica es la siguiente:

 
Note que la función f tiene un valor mínimo en $x=3$ dado por $f(3)=-2$. El punto $(3,-2)$ es el vértice de la parábola con ecuación $y=x^2-6x+7$.

De acuerdo con el teorema $3$ debe cumplirse que $f'(3)$ sea igual a cero.

Como $f'(x)=2x-6$ entonces $f'(3)=2\cdot3-6=0$ y se verifica lo enunciado respecto al valor mínimo.

Observación:

El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que $f'(c)$ sea igual a cero, no implica que en $x=c$ exista un máximo o un mínimo.

Por ejemplo, para la función f con ecuación $f(x)=x^3$, se tiene que $f'(x)=3x^2$, y $f'(x)=0$ si $x=0$; sin embargo, en $x=0$ no hay ni un valor máximo ni un valor mínimo, como puede observarse en la siguiente representación gráfica de la función.

 

 

  Definición 
  Sea f una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de f, aquellos en los que $f'(x)$ es igual a cero o en los que $f'(x)$ no existe.


Ejemplo:

Determinemos los valores críticos de las funciones con ecuaciones:

a. $f(x)=2x^2-x^4$   , $x \in I \! \! R$
b. $f(x)= \sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$  , $x>0$
 
 
 
Solución:
a.
Como $f(x)=2x^2-x^4$, entonces $f'(x)=4x-4x^3$

Ahora: $f'(x)=0$ si y solo si $4x(1-x^2)=0$ o sea si $x=0$, ó, $x=1$, ó, $x=-1$

Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.

 

b.
Como $f(x)= \sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$ entonces $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}+\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$

Luego $f'(x)= \displaystyle\frac{x+1}{2\sqrt{x^3}}$, de donde $f'(x)=0$ si y solo si $x+1=0$, o sea, si $x=-1$

Por lo tanto el valor crítico de f es $x=-1$.

Note que aunque $f'(x)$ se indefine en $x=0$, como este valor no pertenece al dominio de f, entonces no es valor crítico de dicha función.
Observación:

Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función f cuyo dominio es el intervalo k, un valor $c\in k$ será un valor crítico de x para la función f si:

a. $f'(c) = 0 $   ó
b. $f'(x)$  no existe ó
c.
 c es un extremo del intervalo k.
 

En este último caso, si $k=[a,b]$ entonces "a" y "b" son valores críticos. Si $k=[a,b[$ o si $k=[a,+\infty[$ entonces "a" es un valor crítico. Si $k=]a,b[$, o si $k=]-\infty,b]$ entonces "b" es un valor crítico. Si $k=]a,b[$, entonces ni "a" ni "b" son valores críticos (note que los valores extremos de un intervalo abierto no son elementos del intervalo).

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