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Sistemas iterados de funciones

Una de las formas más populares para generar fractales es usar sistemas iterados² de funciones, dado que estos conjuntos presentan autosemejanza, es decir, el conjunto se puede descomponer en un número finito de partes de modo que una de ellas es idéntica, salvo escala, al todo. Para definir formalmente autosemejanza de conjuntos, se darán algunas definiciones básicas.

Definición 1. Una función $f \colon S \to T$ con $(S,\rho)$ y $(T,\tau)$ espacios métricos, es una semejanza o aplicación afín de razón $r$ si cumple

$$\tau(f(x),f(y)) = r\rho(x,y)\quad \forall x,y \in S.$$ (1)

Se pueden describir estas semejanzas de ${\mbox{\conj R}}^2$ en ${\mbox{\conj R}}^2$ como traslaciones, rotaciones, reflexiones y permutación de ejes o composiciones de estos tres tipos de transformaciones, y se pueden representar conmo:

$$v_i\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right) =\left(\begin... ...x\\ y \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} e_i\\ f_i \end{array}\right)$$ (2)

Definición 2. Una lista finita de razones es una $n$-tupla ordenada $(r_1,r_2,\dots,r_n)$ de números positivos; la lista se llama contractiva cuando $r_i<1 \ \forall i=1,\dots, n$. Un sistema iterado de funciones (IFS) en un espacio métrico $S$ que realiza una lista de razones, es una lista $(f_1,f_2,\dots,f_n)$ de semejanzas de razón $r_i$. Un conjunto compacto no vacío $K \subseteq S$ es un conjunto invariante del sistema iterado de funciones $(f_1,f_2,\dots,f_n)$ sii

$$\begin{eqnarray*} K= \bigcup_{i=1}^n f_i[K]. \end{eqnarray*}$$

en cuyo caso diremos que $K$ es autosemejante.

El teorema de la aplicación contractiva nos dice que si $f\colon S \to S$ es una aplicación contractiva y $S$ es un espacio métrico completo existe un único punto fijo de $f$, $x \in S$ que lo podemos encontrar a partir de la sucesión:

$$x_0 = a\in S$$ (3)

$$x_n = f(x_{n-1}), \ n \ge 1.$$ (4)

Este resultado de análisis, se puede extender a los sistemas iterados de funciones, por medio del siguiente teorema, la demostración de este se puede encontrar en [1].

Teorema 1. Sea $(S,\rho)$ un espacio métrico completo, sea $(r_1,r_2,\dots,r_n)$ una lista de razones contractiva, y sea $(f_1,f_2,\dots,f_n)$ un sistema iterado de funciones en $S$ que realiza esta lista de razones. Entonces existe un único conjunto compacto no vacío, invariante para el sistema iterado de funciones.

La unicidad del punto fijo hace que no importe el conjunto que elijamos para construir una sucesión, el límite es siempre el mismo, es decir, si $A_0$ es cualquier conjunto compacto no vacío en $S$, y si $A_{k+1} = \bigcup_{i=1}^n f_i[A_k]$, para $k \ge 0$, entonces la sucesión $(A_k)$ converge (en la métrica Hausdorff) al conjunto invariante del sistema iterado de funciones.

El conjunto invariante de un sistema iterado de funciones contractivo es llamado el atractor del sistema.

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