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El triángulo de Sierpinski

Sean $f_0$, $f_1$, $f_2 : {\mbox{\conj R}}^2\to {\mbox{\conj R}}^2$ tal que $f_0((x,y))=\frac12(x,y)$, $f_1((x,y))=\frac12(x,y)+\frac12(1,0)$ y $f_2((x,y)) = \frac12(x,y)+\frac12(0,1)$. Con esto definimos un sistema iterado de funciones (IFS) que realizan la lista contractiva de razones $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$. El atractor de este IFS es el triángulo de Sierpinski. En la Figura 4, algunas aproximaciones de $S$ usando la sucesión anterior con $k=2,3,4,5,6$ y $7$.

Figura 4: Vértices de $S_k$

Podemos pensar en este sistema iterado de funciones como una máquina de fotocopiar con tres lentes, la primera lente forma una copia reducida al 50% en la parte izquierda de la figura, la segunda lente forma una copia reducida al 50% en la parte derecha de la figura y la tercera lente forma una copia reducida al 50% en la parte superior centrada de la figura. Ahora tomamos una figura cualquiera, le sacamos la primera copia en nuestra máquina y ésta la volvemos a copiar, hacemos esto varias veces y debemos obtener una figura similar al atractor del sistema. Una exposición muy detallada se puede encontrar en [1], [12].

Esta máquina de copiado de reducción múltiple (MCRM), se puede representar como en la Figura 5, donde se indica además la orientación de la copia. El atractor de este MCRM es el triángulo de Sierpinski, con un cambio de ejes.

Figura 5: MCRM cuyo atractor es el Triángulo de Sierpinski.

En total hay $8^3$ posibles MCRM, tomando en cuenta las posibles rotaciones, reflexiones, traslaciones y contracciones a escala $1/2$, análogas a la Figura 5.

Como un ejemplo interesante, consideremos como base al número complejo $b = -1 + i$ que provee una representación binaria de todos los números complejos. Al conjunto de todas estas fracciones se le llama usualmente Twindragon, Figura 6 izquierda, pues está formado por dos copias del Dragón de Heighway. Se puede hacer una construcción geométrica de éste, sin embargo, para los efectos de este artículo, este conjunto es el atractor para el sistema iterado de funciones definido por $f_0(x)=b^{-1}x$ y $f_1(x)= b^{-1}+b^{-1}x$.

Figura 6: Twindragon

Se puede cubrir el plano con una cantidad numerable de conjuntos idénticos a este conjunto, de la forma $T+w$ donde $w$ es un entero gaussiano³, y como todos los enteros gaussianos se pueden representar en esta base, se puede obtener un mosaico o ``teselación" fractal del plano, Figura 6 derecha.

Si ahora consideramos como dígitos, números complejos, por ejemplo $D=\{0,1,\omega,\omega^2\}$ donde $\omega = \frac12(-1+i\sqrt 3)$ y como base $b=-2$ da una representación de todos los números complejos. Al conjunto de todas las fracciones se le llama Fracciones de Eisenstein, Figura 7.

Figura 7: Fracciones de Eisenstein

Este conjunto es el atractor para el IFS definido por $f_0(x)=-\frac12x$, $f_1(x)= -\frac12(1+x)$, $f_2(x)= -\frac12(\omega+x)$ y $f_3(x)=-\frac12(\omega^2+x)$.

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