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El Conjunto de Cantor

Como primer ejemplo consideremos el clásico Conjunto de Cantor, para su construcción tome el intervalo $C_0 = [0,1]$ y divídalo en tres partes iguales. Al remover el intervalo abierto que corresponde al tercio central, obtenemos $C_1 = \left[0,\frac13\right] \cup \left[\frac23,1\right]$. El siguiente conjunto $C_2$ lo obtenemos removiendo el tercio central a cada intervalo de $C_1$, de manera que $C_2 = \left[0,\frac19\right] \cup \left[\frac29,\frac13\right] \cup \left[\frac23,\frac79\right] \cup \left[\frac89,1\right]$ y siguiendo de la misma forma obtenemos una sucesión anidada de conjuntos cerrados $C_0\supseteq C_1\supseteq C_2 \supseteq\dots$ cuyo límite llamamos conjunto de los tercios centrales omitidos o Conjunto de Cantor, y lo denotamos por C, Figura 1.

Figura: ${\mbox{\bf C}}=\lim_{k\to\infty} C_k=\bigcap_{k=0}^\infty C_k$

Si consideramos $f_0$, $f_1: {\mbox{\conj R}}\to {\mbox{\conj R}}$ tal que $f_0(x)=\frac{x}3$, $f_1(x)=\frac{x+2}3$, y con esto definimos un sistema iterado de funciones (IFS) que realizan la lista contractiva de razones $\left(\frac13,\frac13\right)$. El atractor de este IFS es el Conjunto de Cantor, [10].