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Cálculo del valor de las funciones seno y coseno 
para ángulos múltiplos de 3, medidos en grados

Edwin Castro, 
Escuela de Matemática, UCR.

Harold Böcker, 
Liceo Rodrígo Facio, Costa Rica.

Resumen:
Presentamos el cálculo de las funciones seno y coseno para los ángulos múltiplos de 3 medidos en grados.
Se hace uso de las propiedades que presentan los triángulos respectivos. Al final del trabajo se resumen las fórmulas obtenidas.

1.Introducción
De manera frecuente, los estudiantes nos hacen la siguiente pregunta: "¿ de cuáles ángulos se pueden calcular en forma exacta las funciones trigonométricas?". Aunque la pregunta así formulada carece de precisión, nosotros entendemos bien qué es lo que quiere saber el estudiante.

Cuando el estudiante aprende las funciones trigonométricas se le introducen éstas para los ángulos de 45o, 30o, 60o.

En efecto, con construcciones geométricas muy sencillas como las que se señalan a continuación,  las cuales aparecen en todos los manuales de secundaria, el estudiante calcula:

Sen 45o = $ {\sqrt{2}\over2}$                Sen 30o = $ {1\over2}$                Sen 60o = $ {\sqrt{3}\over2}$

Cos 45o = $ {\sqrt{2}\over2}$               Cos 30o = $ {\sqrt{3}\over2}$               Cos 60o = $ {1\over2}$

Ahora sí entendemos lo que quería decir el estudiante cuando preguntaba sobre las funciones trigonométricas que se pueden calcular en "forma exacta". Nosotros no nos ocuparemos de comentar estos términos.
Más adelante cuando el estudiante aprende la definición de las funciones seno y coseno mediante el círculo trigonométrico aparecen:

Sen 0o = 0          Sen 90o = 1

Cos 0o = 1          Cos 90o = 0

Aunque el estudiante aprende a calcular senos y cosenos de ángulos mayores de 90o los valores de dichas funciones no son diferentes a los anteriores, con excepción de cambios de signo por la posición de los ángulos en los diversos cuadrantes.

Una tabla de este tipo la tomamos de ([7]) y se ilustra más adelante (para ángulos en el primer cuadrante). En este trabajo nos proponemos calcular el valor de las funciones seno y coseno de los ángulos múltiplos de 3 medidos en grados.

En ([1] y [6]) se prueba que un ángulo de mo es contructible si y solo si m es múltiplo de 3.

De las fórmulas bien conocidas:

Sen ( 90o - $ \alpha^{o}_{}$) =Cos$ \alpha^{o}_{}$
Cos ( 90o - $ \alpha^{o}_{}$) = Sen$ \alpha^{o}_{}$
Sen ( - $ \alpha^{o}_{}$) = - Sen$ \alpha^{o}_{}$
Cos ( - $ \alpha^{o}_{}$) = Cos$ \alpha^{o}_{}$

Se ve que es suficiente trabajar con ángulos entre 0o y 45o, lo que permitirá calcular las funciones trigonométricas de cualquier ángulo de mo con m entero.

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