Factorización

Un vistazo a la historia: Fermat y Euler.

Fermat: su vida y obra

Pierre Fermat (1601-1665) es un matemático francés, nacido en Beaumont-de-Lomagne en 1601. En su juventud, con su amigo el científico y filósofo Blaise Pascal, realizó una serie de investigaciones sobre las propiedades de los números, las cuales nunca quizo publicar, incluso, llegó a escribir a Pascal:

"No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos de exposición pública"

En 1631 fue nombrado concejal en el parlamento de Toulouse, su trabajo consistía en servir de enlace entre los ciudadanos y el gobierno y el rey.

Aunque Fermat disfrutaba de la literatura y escribió muchos versos, lo que realmente amaba era las matemáticas. Este matemático contribuyó notablemente a la Teoría de la Probabilidad, al Cálculo y a la Teoría de Números.

Fermat, en Cálculo, introduce el concepto de diferencial con base en las rectas tangentes y el concepto de integral como el cálculo numérico de áreas. Se ha descubierto que Newton utilizó para el desarrollo del Cálculo, el método de trazar tangentes de Fermat, de ahí que algunos matemáticos consideran a Fermat el padre del Cálculo.

Sin embargo, la pasión de Fermat en matemáticas fue indudablemente en teoría de números. Algunas de sus contribuciones en este campo son:

a.)
Hallar la segunda pareja de números amigos. Dos números naturales y son amigos si la suma de de los divisores de es igual a y la suma de de los divisores de es igual a Los pitagóricos descubren la primer pareja: 220 y 284. Fermat, descubre la segunda 17296 y 18416, además halla una regla general (conocida por ibn Qurra):

$\displaystyle \begin{tabular}[c]{c}% ''Si $q=3\cdot2^{p-1}-1,$\ $r=3\cdot2^{p}-... ...rimos,\\ entonces $n=2pqr$\ y $m=2ps$\ son n\'{u}meros amigos''. \end{tabular}$

b.)
Método de Factorización de Fermat. Este método es encontrado en una carta aproximadamente en 1643, dirigida probablemente a Mersenne (1588-1648), un padre franciscano, filósofo y matemático, amigo de Descartes. Este método será expuesto con detalle más adelante.

c.) Teorema pequeño de Fermat: si es un número natural cualquiera y un número primo que no es divisor de , entonces es divisor exacto de $a^{p-1}-1.$ Por ejemplo $2^{5-1}-1=15$ es divisible por

d.) Último Teorema de Fermat: las ecuaciones del tipo: $x^{n}+y^{n}=z^{n},$ para el entero $n\geq3,$ no tiene solución, en el campo de los números enteros. Fermat supuestamente escribió en los márgenes de un libro que había descubierto una maravillosa demostración de este teorema, pero que no le cabía en ese espacio. Falleció sin haber hecho pública nunca la solución. El 23 de junio de 1993, Andrew Wiles, presentó una demostración de este teorema, sin embargo, Nick Katz encontró en septiembre de ese año, que el trabajo de Wiles presentaba un error que invalidaba la demostración. Tras un año de esfuerzo, Wiles, el 25 de octubre de 1994, presentó en dos manuscritos - unas 130 páginas en total - la demostración de dicho teorema.

Euler: su vida y obra.

Leonhard Euler (1707-1783), nació en Basilea- Suiza y estudió en su Universidad con el matemático suizo Jean Bernoulli, obteniendo la licenciatura a los 16 años. Además de contribuir en casi todas las ramas de la matemática tenía amplios conocimientos en otras disciplinas como la medicina, la geografía y las lenguas modernas entre otras.

En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, luego, en 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín y en 1766, regresó a San Petersburgo , donde permaneció hasta su muerte.

Las malas condiciones de trabajo y el esfuerzo realizado provocó la pérdida de la visión de un ojo, hasta quedar totalmente ciego en 1766.

Sus principales tratados fueron "Introductio in Analysis Infinitorum" (1748); "Institutiones Calculi Differentialis" (1975) e "Institutiones Calculi Integralis" (1768-1794). En "Introductio in Analysis Infinitorum"(1748). Realiza el primer tratamiento analítico completo del Ágebra, la Teoría de Ecuaciones, la Trigonometría y la Geometría Analítica. Además, introduce la notación $\ f\left( x\right)$ para una función de x y el símbolo $\sum$ para representar una suma. También estableció la relación $e^{\pi i}+1=0$ y la generaliza dando una relación entre las funciones trigonométricas y la exponencial por medio de $e^{i\theta}=\cos\theta+isen\theta$ $\medskip \medskip$

En ecuaciones diferenciales, propuso los métodos: reducción del orden, un factor integrante y soluciones por series de potencias. En geometría propone el siguiente teorema: "En un poliedro simple, el número de caras sumado al número de vértices es igual al número de aristas aumentado en dos".

Algunas de sus contribuciones a la Teoría de Números son:

a.) La función $\varphi$ de Euler. Esta se denota por $\phi\left( n\right) ,$ e indica el número de enteros positivos menores o iguales que Euler demostró que si $\prod\limits_{i=1}% ^{k}p_{i}^{a_{i}}$ representa la factorización prima de entonces $\phi\left( n\right) =n\prod\limits_{i=1}^{k}\left( 1-\dfrac{1}{p_{i}% }\right) .\medskip$

b.) Teorema de Euler (Generalización del Teorema pequeño de Fermat): Si y son dos números naturales primos relativos entonces $a^{\phi\left( m\right) }-1$ es divisible por

c.) Teorema de Euclides-Euler (recíproco del teorema de Euclides sobre números perfectos). Un número es perfecto si la suma de sus divisores es igual a por ejemplo es un número perfecto, pues $1+2+3+6=2\cdot6$ . El Teorema de Euclides-Euler señala que: Si es un número perfecto y par, entonces $n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ , donde $2^{k}-1$ es un número primo

d.) Los números amigos. Euler ofrece otras 58 parejas de númeroso amigos.

e.) Método de factorización de Euler. Aunque la cocepción de este método es atribuido a Frénicle de Berry (1605-1675) y a Mersenne (1588-1648), es Euler el primero en hacerlo explícito. Este método será expuesto con detalle más adelante.

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