Factorización		Geovany Sanabria  B..

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Preliminares: Tópicos Elementales de la Teoría de Números.

Definiciones y resultados básicos

Seguidamente se presentarán algunas definiciones y resultados elementales de la Teoría de Números, que permitirán posteriormente la introducción de los métodos de factorización.

Definición 1

Dado dos números naturales $n$ y $m,$ se dice que $m$ es un factor o divisor de $n$ si existe un número natural $k$ tal que: $n=mk.$ Se dice que $n$ es un múltiplo de $m$ y de $k.$

Ejemplo 1.

 

El número 4 es divisor de $12$ pues $12=4\cdot3,$ en este caso se toma k igual a $3. \medskip$

A continuación se enumeran algunos resultados consecuencia de la primer definición$.$ $\medskip\medskip\medskip$

 

Grupo de Resultados A

1. Si $m$ es factor de $n$ entonces $\dfrac{n}{m}$ es factor de $n$

2. Para todo número natural $n,$ se tiene que $1$ y $n$ son divisores de $n.$

3. Si $l$ es divisor de $m$ y $m$ es divisor de $n$ entonces $l$ es divisor $n$

Justificación de los resultados A.

1. Si $m$ es un factor de $n$ entonces existe $k\,\in\, \mathbb{N}\,$ tal que $n=mk,$ por lo que $\dfrac{n}{m}=k,$ y en consecuencia $k$ es un factor de $n$ , pues $n=km.$ Este resultado señala que si $n=mk$ entonces tanto $m$ como $k$ son factores de $n.$

2. Dado que $n=n\cdot1,$ entonces por el resultado anterior, $n$ y $1$ son divisores de $n.$

3. Se tiene que existen dos naturales, $j$ y $k$ que cumplen: $m=lj$ y $n=mk$ entonces $n=l\left( kj\right) .$ Por lo tanto $l$ es divisor de $n.$

Se entenderá por factorizar un número $n$ como el proceso mediante el cual se expresa $n$ como una multiplicación de dos o más factores diferentes de $1.$

 

Ejemplo 2.

 

Las posibles factorizaciones de $8$ son: $2\cdot4$ y $2\cdot2\cdot2. \medskip$

Definición 2.

Se define A$_{n}$ como el conjunto de divisores de $n.\medskip$

Ejemplo 3.

$A_{6}=\left\{ 1,2,3,6\right\} ,A_{30}=\left\{ 1,2,3,5,6,10,15,30\right\}$

A continuación se enumeran algunos propiedades del conjunto $A_{n}.$

Grupo de Resultados B.

1. Para todo $n,$ $A_{n}$ no es vacío$.$

2. Si $n$ es divisor de $m$ entonces $A_{n}\subset A_{m}.$

3. El máximo elemento de $A_{n}$ es $n.$

4. Para cualesquiera números naturales $n$ y $m,$ se tiene que $A_{n}\cap A_{m}$ es diferente del conjunto $vac\acute{\imath}o.$

Justificación de los resultados B.

1. Por el resultado $A2$ se tiene que $1\, \in \, A_{n}.$ Además $n\, \in \, A_{n}$

2. Sea $k\, \in \, A_{n},$ entonces $k$ es divisor de $n$ y como $n$ es divisor de $m$ , por el resultado $A3,$ se tiene que $k$ es factor de $m.$ Por lo tanto $k\, \in \, A_{m}.$

3. Sea $k\, \in \, A_{n},$ entonces existe $j\, \in \, A_{n},$ tal que $kj=n,$ por lo tanto $k\leq kj=n.$

4. De la justificación del resultado $B1,$ se tiene que $1\, \in \, A_{n}$ y $1\, \in \, A_{m},$ para cualesquiera naturales $n$ y $m.\medskip\medskip$

El conjunto $A_{n}\cap A_{m}$ es llamado el conjunto de los divisores comunes de $m$ y $n.$

Definición 3.

Se define el máximo común divisor de los números naturales $m$ y $n$ como el máximo del conjunto formado por los divisores comunes de $m$ y $n$ . Se denota por $\left( m,n\right) :$

$$\left( m,n\right) =\max\left( A_{n}\cap A_{m}\right)$$

El máximo común divisor esta bien definido debido que $A_{n}\cap A_{m}$ es diferente de vacío (resultado $B4$ ) y es acotado, pues $A_{n}$ y $A_{m}$ son acotados (resultado $B3$ ), por lo tanto $A_{n}\cap A_{m}$ es un conjunto infinito no vacío.

 

Ejemplo 4.

 

Determine $\left( 30,48\right)$

Solución.

 

Note que $A_{30}=\left\{ 1,2,3,5,6,10,15,30\right\} ,A_{48}=\left\{ 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\right\} ,$ entonces $A_{30}\cap A_{48}=\left\{ 1,2,3,6\right\} .$ Por lo tanto $\left( 30,48\right) =6. \medskip\medskip$

Más adelante veremos un algoritmo que permite hallar el máximo común divisor de una manera más rápida.

 

Definición 4.

Se define el conjunto $B_{n}$ como el conjunto formado por todos los múltiplos de $n.$

 

Ejemplo 5.

El con junto $B_{2}$ es el conjunto de los números pares. Por otro lado, $B_{3}=\left\{ 3,6,9,12,15,...\right\} \quad {\small\blacksquare}\medskip\medskip$

Algunas de las propiedades del conjunto $B_{n}$ se muestran a continuación.

Grupo de Resultados C.

1. Para todo $n,$ $B_{n}$ es diferente del vacío

2. Si $n$ es divisor de $m$ entonces $B_{m}\subset B_{n}.$

3. El mínimo valor de $B_{n}$ es $n.$

4. $B_{n}$ no posee un elemento máximo.

5. Para cualesquiera números naturales $n$ y $m,$ se tiene que $B_{n}\cap B_{m}$ es diferente del conjunto $vac\acute{\imath}o.$

Justificación de los resultados C.

1. Como $n$ es múltiplo de $n$ entonces $n\, \in \, B_{n}.$

2. Sea $k\, \in \, B_{m},$ entonces $m$ es divisor de $k$ y como $n$ es divisor de $m,$ por el resultado $A3,$ se concluye que $k$ es múltiplo de $n.$

3. Si $k\, \in \, B_{n},$ entonces existe un número natural $j$ tal que $jn=k,$ por lo tanto, $n\leq nj=k.$

4. Si $m$ es el máximo de $B_{n},$ entonces $mn\, \in \, B_{n},$ pues $mn$ es un múltiplo de $n,$ así se llega a una contradicción.

5. Note que $nm$ es múltiplo de $n$ y de $m,$ por lo tanto $mn \, \in \, B_{n}\cap B_{m}\medskip\medskip$

El conjunto $B_{n}\cap B_{m}$ suele ser llamado como el conjunto de los múltiplos comunes de $n$ y $m.\medskip\medskip$

Definición 5.

Se define el mínimo común múltiplo de los números naturales $m$ y $n$ como el mínimo valor del conjunto formado por los múltiplos comunes de $m$ y $n,$ se denota por $\left[ m,n\right] .$ Es decir

$$\left[ m,n\right] =\min\left( B_{n}\cap B_{m}\right)$$

Al igual que el máximo común divisor, el mínimo común múltiplo esta definido debido que $B_{n}\cap B_{m}$ es diferente de vacío (resultado $C5$) y además $\,B_{n}\cap B_{m} \,\subset \, \mathbb{N}$

Ejemplo 6.

 

Determine el mínimo común múltiplo de $\left[ 30,48\right]$

Solución.

 

Se tiene que $B_{30}=\left\{ 30,60,90,120,150,180,210,240...\right\}$ y $B_{48}=\left\{ 48,96,144,192,240,..\right\}$ por lo tanto $\left[ 30,48\right] =\min\left( B_{30}\cap B_{48}\right) =240. % \medskip\medskip$

Note que calcular un mínimo común múltiplo utilizando la definición no es un algoritmo muy eficiente, más adelante se brinda una manera más eficiente de calcularlo.

 

Definición 6

Se dice que un número natural $p$ es primo si tiene solamente dos divisores, es decir $A_{p}=\left\{ 1,p\right\} .$ Si un número tiene más de dos divisores se dice que es compuesto.

 

Ejemplo 7.

 

Los números: $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ $19,$ $23,$ $29$ son los primeros diez primos. $% \medskip$

Uno de los resultados más importantes en Teoría de Números es el Teorema Fundamental de la Aritmética:$\lq\lq$ Todo número natural puede expresarse como una multiplicación de números primos''. Más aun, si dichos factores se ordenan de manera ascendente, la forma de expresar el número $n$ es única, o sea $n$ puede escribirse de manera única así:

$$n=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot p_{2}^{\alpha_{2}}\cdot...\cdot p_{k}^{\alpha_{k}<tex2html_comment_mark>13 }, p_{1},p_{2},...y p_{k} p_{1}<p_{2}<..< p_{k}.%$$ (1)

La demostración de este teorema se puede consultar en casi cualquier libro de Teoría de Números.

 

Ejemplo 8.

 

$30=2\cdot3\cdot5$ $y$ $144=2^{4}\cdot3^{2}.\quad {\small\blacksquare\medskip }$

Se entenderá por factorización prima de $n$ , la expresión de $n$ de la forma dada en $\left( \ref{TfundArit}\right) .$ Como consecuencia de este teorema, se obtiene un resultado que simplifica el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo:

 

Teorema. Sea $q_{1}^{\alpha_{1}}\cdot q_{2}^{\alpha_{2}}\cdot...\cdot q_{k}^{\alpha_{k}}$ y $s_{1}^{\beta_{1}}\cdot s_{2}^{\beta_{2}}\cdot...\cdot s_{j}^{\beta_{j}}$ la factorización prima de $n$ y $m$ respectivamente.

a)

Tomemos todos los primos involucrados en la factorización prima de $n$ y $m:q_{1},q_{2},...,q_{k},$ $s_{1},s_{2},...,s_{j};$ y reordenémonos de menor a mayor, entonces, $n$ y $m$ se pueden escribir de la siguiente manera:

$$n =p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot p_{2}^{\alpha_{2}}\cdot...\cdot p_{r}<tex2html_comment_mark>16 ^{\alpha_{r}}, p_{i}\notin A_{n} \alpha _{i}=0,$$

$$m =p_{1}^{\beta_{1}}\cdot p_{2}^{\beta_{2}}\cdot...\cdot p_{r}^{\beta_{r}<tex2html_comment_mark>17 } p_{i}\notin A_{m} \beta_{i}=0.$$

b)

Utilizando la notación de $m$ y $n$ dada por la parte $a,$ se tiene que:

$$\left( n,m\right) =p_{1}^{\min\left( \alpha_{1},\beta_{1}\right) }\cdot p_{2}^{\min... ...cdot p_{r}<tex2html_comment_mark>19 ^{\min\left( \alpha_{r},\beta_{r}\right) },$$

$$\left[ n,m\right] =p_{1}^{\max\left( \alpha_{1},\beta_{1}\right) }\cdot p_{2}^{\max... ...cdot p_{r}<tex2html_comment_mark>20 ^{\max\left( \alpha_{r},\beta_{r}\right) }.$$

 

Ejemplo $9.$

 

Determine $\left( 28,30\right)$ y $\left[ 28,30\right]$

Solución.

 

La factorización de 28 y 30 es respectivamente $2^{2}\cdot7$ y $2\cdot3\cdot5.$ Así, estos números se puede escribir como $28=2^{2}\cdot3^{0}\cdot5^{0}\cdot7^{1}$ y $30=2^{1}\cdot3^{1}\cdot 5^{1}\cdot7^{0}.$ Por lo tanto $\left( 28,30\right) =2^{1}\cdot3^{0}% \cdot5^{0}\cdot7^{0}=2$ y $\left[ 28,30\right] =2^{2}\cdot3^{1}\cdot 5^{1}\cdot7^{1}=420. \medskip\medskip$

En la practica, el lector puede apreciar que se puede omitir la notación dada en el teorema anterior. A raíz del Teorema Fundamental de la Aritmética surgen varios métodos para hallar la factorización prima de un número natural, que se estudiarán en la siguiente sección, los cuales permitirán de acuerdo al teorema anterior, hallar de una manera más ágil el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

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