Propuesta sobre la enseñanza de la demostración de implicaciones

  

Geovany Sanabria B.
   
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Primer método: Directo

En este método se parte de que $ H$ es verdadero y por medio de las reglas de inferencias, leyes de la lógica, axiomas, definiciones o teoremas, se deduce que $ C$ es verdadero. Un modelo para este método es:

 

   

Observaciones:

  1. Note que en realidad a partir de los teoremas definiciones o axiomas, entre otros, se tienen las siguientes implicaciones tautológicas:

     

       

    Al asumir que $ H$ es verdadero, aplicando las reglas de inferencia (Modus Ponens y adjunción) se tiene que $ C$ es verdadero. En efecto, si

    $\displaystyle H$ es verdadero,$\displaystyle \quad \quad \left( \ast \right)$       

    por Modus Ponens a $ \left( \ast \right) $ y $ \left( 1\right) $ se tiene que

    $\displaystyle C_{1}$ es verdadero.    

    Por adjunción, se tiene que

    $\displaystyle H\wedge C_{1}$ es verdadero,$\displaystyle \quad \quad \left( \ast \ast \right)$       

    y nuevamente por Modus Ponens a $ \left( \ast \ast \right) $ y $ \left( 2\right) $ se tiene que

    $\displaystyle C_{2}$ es verdadero.    

    El proceso de deducción continúa hasta llegar a que $ C$ es verdadero. $ \medskip $

  2. En el modelo, cada deducción es conveniente justificarla, indicando las premisas, reglas, axiomas o teoremas en que se basó.

Ejemplo 1   Sea $ A$ un conjunto de números reales que cumple las siguientes proposiciones (axiomas):


$\displaystyle Axioma$ $\displaystyle 1)\quad 3$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle A$  
$\displaystyle Axioma$ $\displaystyle 2)\quad x$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle A\Longrightarrow 3x+1\in A$  
$\displaystyle Axioma$ $\displaystyle 3)\quad x$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle A\wedge y\in A\Longrightarrow \left( x+y\right) \in A$  

Pruebe las siguientes proposiciones.$ \newline $Teorema $ 1.$ Si $ 7\in A$ entonces $ 25\in A.\medskip\newline $Teorema $ 2.$ Si $ 2\in A$ entonces $ 27\in A.\medskip $

Prueba.
Utilizaremos el método directo para demostrarlos.

 

   
 

 

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