Propuesta sobre la enseñanza de la demostración de implicaciones		Geovany Sanabria B.

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Ejercicios

1. Sea $A$ un conjunto de números reales que cumple las siguientes proposiciones (axiomas):
   

   $$1)\quad 5 \in A$$

   $$2)\quad x \in A\Longrightarrow 3x+2\in A$$

   $$3)\quad x \in A\wedge y\in A\Longrightarrow \left( x+y\right) \in A$$

   $$4)\quad 7 \notin A$$

   
   
   Demuestre los siguientes teoremas utilizando el método indicado.
   1. $3\in A\Longrightarrow 16\in A.$ $\qquad \qquad \left( \text{directo}%% \right)$

   2. $4\in A\Longrightarrow 23\in A.$ $\qquad \qquad \left( \text{directo}%% \right)$

   3. $11\in A\Longrightarrow \left( 28\in A\vee 31\notin A\right) .$ $%% \qquad \qquad \left( \text{directo}\right)$

   4. $3\in A\wedge 11\in A\Longrightarrow 51\in A.$ $\qquad \qquad \left( \text{directo}\right)$

   5. $x\in A\wedge y\in A\Longrightarrow \left( 3x+2y+17\right) \in A$ $%% \qquad \qquad \left( \text{directo}\right)$

   6. $x\in A\wedge y\in A\Longrightarrow \left( 7x+3y+16\right) \in A$ $%% \qquad \qquad \left( \text{directo}\right)$

   7. $11\notin A\Longrightarrow 3\notin A$ $\qquad \qquad \left( \text{%% contradicci\'{o}n}\right)$

   8. $24\notin A\Longrightarrow \left( 4\notin A\vee 12\in A\right) \qquad \qquad \left( \text{contradicci\'{o}n}\right)$

   9. $\left( 3y+z+7\right) \notin A\Longrightarrow \left( y\notin A\vee \dfrac{z}{2}\notin A\right) \qquad \qquad \left( \text{contradicci\'{o}n}%% \right)$

   10. $\left( 3y\notin A\wedge \left( z+10\right) \notin A\right) \Longrightarrow \le... ... A\wedge z\notin A\right) \qquad \qquad \left( \text{contradicci\'{o}n}\right)$

   11. $3\in A\Longrightarrow 1\notin A\qquad \qquad \left( \text{reducci\'{o}%% n al absurdo}\right)$

   12. $21\in A\Longrightarrow -31\notin A\qquad \qquad \left( \text{reducci\'{o}n al absurdo}\right)$

   13. $x\in A\wedge y\in A\Longrightarrow \left( -3-3x-y\right) \notin A\qquad \qquad \left( \text{reducci\'{o}n al absurdo}\right)$

   14. $2\notin A$

   15. $\left( \exists x\in A\right) \left( x^{2}-17x+70=0\right)$

2. Sea $A$ un conjunto de números reales que cumple (axioma):

    

   $$\left( \forall n\in \mathbb{Z}\right) \left[ \text{ }n\in A\Longrightarrow \left( n+1\right) \in A\right]$$

   
   
   Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son verdaderas demuéstrelas y si no, brinde un contraejemplo (indique un conjunto $A$ que cumple las hipótesis pero no la conclusión). Nota: $%% \mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,...\right\} .$
   1. $10\in A\Longrightarrow 13\in A.$

   2. $11\in A\Longrightarrow 9\in A.$

   3. $-9\in A\Longrightarrow 9\in A.$

   4. $A$ puede ser el conjunto $\left\{ 4,5,6,7,8,...\right\} .$

   5. $A$ puede ser el conjunto $\left\{ -1+\sqrt{5},5,6,7,8,...\right\} .$

   6. $A$ puede ser el conjunto $\left\{ \sqrt{2}\right\}$

   7. $1\in A\Longrightarrow A=%% \mathbb{N} .$

   8. $1\in A\Longrightarrow \mathbb{N} \subseteq A.$

   9. $c\in A\wedge c\in \mathbb{N} \Longrightarrow \left( c+3\right) \in A.$

   10. $d\in A\Longrightarrow \left( d+1\right) \in A$

   11. $m\in A\Longrightarrow \left( \forall p\in \mathbb{N} \right) \left[ \left( n+p\right) \in A\right]$

   12. $-c\in A\wedge c\in \mathbb{N} \Longrightarrow c\in A.$

   13. $1\in A\wedge A\subseteq \mathbb{N} \Longrightarrow A=%% \mathbb{N} .$

3. Construcción del conjunto de los números naturales. $%% \newline$La idea es construir formalmente este conjunto(suponga que no lo conoce) a partir de $5$ axiomas (Los Axiomas de Peano):

   Axioma 1.

   $1$ es un numero natural.

   Axioma 2.

   Para todo $n$ numero natural, existe un único número natural $n^{+}$ llamado el sucesor de $n.$

   Axioma 3.

   El número natural $1$ no es sucesor de algún número natural.

   Axioma 4.

   Si $n$ y $m$ son números naturales tales que $%% n^{+}=m^{+}$ (el sucesor de $n$ es igual al sucesor de $m)$ entonces $n=m$

   Axioma 5.

   Si $A$ es un conjunto formado por números naturales que cumple:

    

   
   

   entonces $A$ es el conjunto de los números naturales, denotado por $%% \mathbb{N}$. $\medskip\medskip\newline$Se denota $1^{+}:=2$ y $\left( 1^{+}\right) ^{+}:=3.$ Utilice estos axiomas para demostrar los siguientes teoremas.

   1. Pruebe que no existe un número natural $a$ tal que $\left( a^{+}\right) ^{+}=1^{+}.$

   2. Pruebe que
      1. $2^{+}=3$

      2. $2\neq 3$

      3. Si $a\neq 2$ entonces $a^{+}\neq 3.$

      4. Si $c^{+}=2$ entonces $c=1.$

   3. Pruebe que el conjunto $B=\left\{ x\in \mathbb{N} \vert x\neq x^{+}\right\} ,$ cumple las condiciones del axioma $5$ y por lo tanto $B=%% \mathbb{N} ,$ es decir, ningún número natural es igual a su sucesor.

   4. Se define la suma de números naturales como la operación $+$ que cumple:
      
      
      Pruebe que
      1. $1+2=3$

      2. $2+1=1+2$

      3. $\left( a+b\right) +1=a+\left( b+1\right)$

   5. Se define el producto de números naturales como la operación $%% \cdot$ que cumple:

       

      
      
      Pruebe que
      1. $2\cdot 2=3^{+}$

      2. $2\cdot 3=3\cdot 2$

      3. $\left( a\cdot b\right) \cdot 1=a\cdot \left( b\cdot 1\right)$

      4. $2\left( 1+2\right) =2\cdot 1+2\cdot 2$

 

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