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El Problema de Fermat para Torricelli

Con el teorema de Viviani demostrado se puede dar un primer argumento que soluciona el problema que Fermat planteo a Torricelli.

Se necesita establecer primero la siguiente definición

Se llama Punto de Fermat de un triángulo a un punto de este tal que cada lado subtiende un ángulo de 120^o con P como vértice.

Un resultado que se deja como ejercicio al lector establece que el punto de Fermat de un triángulo $\triangle$ ABC es el punto de intersección de los circuncírculos de los tres triángulos equiláteros dibujados exteriormente sobre los lados del triángulo $\triangle$ ABC

Seguidamente mostramos un primer resultado del problema planteado.

El punto de triángulo dado $\triangle$ ABC tal que la suma de las distancias a los vértices del triángulo es mínima, es el punto P de Fermat del triángulo siempre que el triángulo $\triangle$ ABC no tenga ángulos mayores de 120o.

Demostración:

Sea $\triangle$ ABC un triángulo y supongamos que no tiene ángulos mayores de 120o. Localícese el punto P de Fermat. Sean t₁ = $\overline{PA}$ , t₂ = $\overline{PB}$ , t₃ = $\overline{PC}$ en A, B, C respectivamente. Entonces podemos afirmar que el triángulo $\triangle$ xyz formado por las perpendiculares $\overline{PA}$ , $\overline{PB}$ , $\overline{PC}$ es un triángulo equilátero. Para probar este resultado basta ver que los ángulos internos de $\triangle$ xyz miden 60^o. Sin perdida de generalidad lo haremos para el ángulo $\angle$ x. Sea x la intersección de la perpendicular $\overline{PA}$ con la perpendicular $\overline{PB}$ . Considere el cuadrilátero

XAPB entonces

m $\displaystyle \angle$ x + m $\displaystyle \angle$ A + m $\displaystyle \angle$ P + m $\displaystyle \angle$ B = 360^o (4)

De la definición del punto P se tiene que m $\angle$ P = 120^o. Además m $\angle$ B = m $\angle$ A = 90^o por construcción. Luego sustituyendo en (4) de tiene

m $\displaystyle \angle$ x + 90^o + 120^o + 90^o = 360^o $\displaystyle \Rightarrow$ m $\displaystyle \angle$ x + 300^o = 360^o $\displaystyle \Rightarrow$ m $\displaystyle \angle$ x = 60^o

De donde se tiene que el triángulo es equilátero. Entonces por el teorema de Viviani se tiene que

t₁ + t₂ + t₃ = h

(5)

donde h es la altura del triángulo $\overline{QA'}$ Sea Q $\ne$ P y sean $\overline{QA'}$ , $\overline{QB'}$ , $\overline{QC'}$ las perpendiculares a los lados del triángulo $\triangle$ xyz. Se tiene que Q $\not\in$ $\overline{PA}$ , Q $\not\in$ $\overline{PB}$ , Q $\not\in$ $\overline{PC}$ . Sea QA' = c₁, QB' = c₂, QC' = c₃,. Sean además i₁ = $\overline{QA}$ , i₂ = $\overline{QB}$ , i₃ = $\overline{QC}$ las distancias de Q a los vértices del $\triangle$ ABC. Considere sin pérdida de generalidad el triángulo $\triangle$ QAA'. Entonces por construcción se tiene que $\triangle$ QAA' es rectángulo en A' de donde $\overline{QA}$ > $\overline{QA'}$ . Pero esto dice que

i₁ > c₁;i₂ > c₂;i₃ > c₃

de donde, por el teorema de Viviani

i₁ + i₂ + i₃ > c₁ + c₂ + c₃ = h

Lo que dice que P es el punto que minimiza la distancia tal y como queriamos demostrar.

Finalmente, si Q = P el resultado es evidente.

El caso en el cual el triángulo $\triangle$ ABC posee un ángulo de medida mayor o igual a 120^o es un tanto más elaborado

Considere un triángulo $\triangle$ ABC que posee un ángulo cuya medida es mayor a 120^o. Entonces el punto P donde la suma de las distancias a los vértices es mínima es igual al vértice del a´ngulo mayor.