Demostración:

Sea $\triangle$ ABC y sea n $\angle$ ACB = $\gamma$ $\ge$ 120^o. Se debe probar que $\overline{AC}$ + $\overline{BC}$ < $\overline{AU}$ + $\overline{BU}$ + $\overline{CU}$ , no importa donde se encuentre U. Considerese además los ángulos $\psi$ = $\angle$ ACU y $\varphi$ = $\angle$ BCU. Tenemos tres casos:

U pertenece al espacio encerrado por el ángulo $\angle$ ACB = $\gamma$ .
U pertenece al espacio encerrado por el ángulo adyacente a $\angle$ $\gamma$ .
U pertenece al espacio del ángulo opuesto a $\gamma$

Caso 1. U pertenece al espacio encerrado por el ángulo $\angle$ ACB = $\gamma$ .

Tenemos que m $\angle$ ACU + m $\angle$ UCB = $\psi$ + $\varphi$ = $\gamma$ . Tracense las perpendiculares desde U hasta $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$ y sean F, G sus intersecciones respectivas. Entonces se tiene que

$\displaystyle \overline{FC}$	=	x = CU cos( $\displaystyle \psi$ )dondex > 0 $\displaystyle \iff$ cos( $\displaystyle \psi$ ) > 0
$\displaystyle \overline{GC}$	=	y = CU cos( $\displaystyle \varphi$ )dondey > 0 $\displaystyle \iff$ cos( $\displaystyle \varphi$ ) > 0

entonces se tiene que $\overline{AC}$ = $\overline{AF}$ + x y $\overline{BC}$ = $\overline{BG}$ + y y se obtiene

$\displaystyle \overline{AC}$ + $\displaystyle \overline{BC}$ = $\displaystyle \overline{AF}$ $\displaystyle \overline{BC}$ + x + y

(6)

Ahora bien

x + y	=	CU cos( $\displaystyle \psi$ ) + CU cos( $\displaystyle \varphi$ ) = CU(cos( $\displaystyle \psi$ ) + cos( $\displaystyle \varphi$ ))
	=	2CU cos( $\displaystyle {\psi+\varphi\over 2}$ )cos( $\displaystyle {\psi-\varphi\over 2}$ )
	$\displaystyle \le$	2CU cos(60^o)cos( $\displaystyle {\psi-\varphi\over 2}$ )
	$\displaystyle \le$	CU cos( $\displaystyle {\psi-\varphi\over 2}$ )
	$\displaystyle \le$	CU

Esto indica que $\overline{AC}$ + $\overline{BC}$ = $\overline{AF}$ + $\overline{BG}$ + x + y $\le$ $\overline{AF}$ + $\overline{BC}$ + $\overline{CU}$ .

Por último como los catetos $\overline{AF}$ y $\overline{BG}$ de los triángulos rectángulos $\triangle$ AUF y $\triangle$ BUG son más pequeños que las hipotenusas $\overline{AU}$ y $\overline{BU}$ se tiene lo que queriamos probar

$\displaystyle \overline{AC}$ + $\displaystyle \overline{BC}$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \overline{AU}$ + $\displaystyle \overline{BU}$ + $\displaystyle \overline{CU}$

Caso 2.U pertenece al espacio encerrado por el ángulo adyacente a $\angle$ $\gamma$ .

Se supone sin perder generalidad que m $\angle$ ACU - m $\angle$ BCU = $\psi$ - $\varphi$ = $\gamma$ .

Tracense las perpendiculares desde U hasta $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$ y sean F,G sus intersecciones respectivas. Entonces $\triangle$ FUC es rectángulo y $\triangle$ CUG es también rectángulo. Se esto se tiene que

$\displaystyle \overline{FC}$	=	x = $\displaystyle \overline{CU}$ cos( $\displaystyle \psi$ )
$\displaystyle \overline{GC}$	=	y = $\displaystyle \overline{CU}$ cos( $\displaystyle \varphi$ )

Como U pertenece al espacio del ángulo adyacente a $\gamma$ $\ge$ 120^o entonces 180^o $\ge$ $\psi$ $\ge$ $\gamma$ $\ge$ 120^o $\Rightarrow$ cos( $\psi$ ) < 0.

Por otro lado 180^o $\ge$ $\gamma$ $\ge$ 120^o $\Rightarrow$ 180^o $\ge$ $\psi$ - $\varphi$ $\ge$ 120^o $\Rightarrow$ 180^o + $\varphi$ $\ge$ $\psi$ $\ge$ 120^o + $\varphi$ $\Rightarrow$ 180^o $\ge$ 120^o + $\varphi$ $\Rightarrow$ 180^o - 120^o $\ge$ $\varphi$ $\Rightarrow$ 60^o $\ge$ $\varphi$ $\Rightarrow$ cos( $\varphi$ ) > 0 $\Rightarrow$ y > 0 Entonces $\overline{AC}$ = $\overline{AF}$ + x y $\overline{BC}$ = $\overline{BG}$ + y de donde $\overline{AC}$ + $\overline{BC}$ = $\overline{AF}$ + $\overline{BC}$ + x + y

Por otra parte

x + y	=	CU cos( $\displaystyle \psi$ ) + CU cos( $\displaystyle \varphi$ ) = CU(cos( $\displaystyle \psi$ ) + cos( $\displaystyle \varphi$ ))
	=	2CU cos( $\displaystyle {\psi+\varphi\over 2}$ )cos( $\displaystyle {\psi-\varphi\over 2}$ )
	=	2CU cos( $\displaystyle {\psi+\varphi\over 2}$ )cos( $\displaystyle {\gamma\over 2}$ )
	$\displaystyle \le$	2CU cos( $\displaystyle {\psi+\varphi\over 2}$ )cos(60^o)
	$\displaystyle \le$	CU cos( $\displaystyle {\psi-\varphi\over 2}$ )
	$\displaystyle \le$	CU