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Una demostración Física

Un argumento muy elegante sobre la existencia del punto de Fermat es uno que utiliza un argumento de tipo físico basado en un procedimiento de Arquímedes.

Consideremos un triángulo $\triangle$ ABC. Supongamos que se encuentra en un plano horizontal y que es dotado de poleas fijas en cada vértice.

Desde un punto P en el triangulo son pasados hilos sobre las poleas y una masa m es suspendida al final de cada hilo. Se libera el sistema y se deja a la aación de la fuerza de gravedad.

La posición tomada por el punto P es el punto de Fermat del $\triangle$ ABC.

Demostración

En la posición de equilibrio las masas m tendrán alturas a, b, c arriba del plano horizontal $\pi$ .

Sea G el centroide del sistema y sea r su distancia sobre $\pi$ .

La Energía potencial total del sistema relativa al plano $\pi$ esta dada por la ecuación

E_p	=	ma + mb + mc
	=	(3m)r

en virtud del principio de composición de fuerzas de Galileo. Luego,

ma + mb + mc	=	(3m)r
m(a + b + c)	=	3mr
$\displaystyle {1\over 3}$ (a + b + c)	=	r

donde se alcanza el mínimo potencial de energía.

Se sabe que una condición necesaria y suficiente para que un punto sometido a varias fuerzas este en equilibrio es que las resultantes de las fuerzas aplicadas a el sea nula. Esto equivale a decir que la suma geométrica de ellas es un polígono cerrado.

Entonces G se encuentra más cercano a $\pi$ y a + b + c es mínimo pues r = ${1\over 3}$ (a + b + c).

Sea h la distancia desde el triángulo $\triangle$ ABC a $\pi$ . Entonces las distancias a los hilos son (h - a),(h - b), y (h - c) de donde

(h - a) + (h - b) + (h - c) = 3h - (a + b + c)

Si t es el tamaño total del hilo y S es la medida de los segmentos horizontales entonces

S = t - [3h - (a + b + c)] = (t - 3h) + (a + b + c)

y como t y h son constantes y (a + b + c) es mínima se encuentra en la posición de equilibrio.

Por otro lado, el punto de Fermat cumple las siguientes especificaciones:

P esta en equilibrio por las tres tensiones $\vec{F}\,$ en los hilos.
Los vectores de Fuerza representan esta tensión.
$\vec{F_1}\,$ , $\vec{F_2}\,$ , $\vec{F_3}\,$ representan un triángulo equilátero cuando se suman vectorialmente.

Podemos probar que el ángulo comprendidos entre dos hilos es 120^o en este momento.

Como $\vec{F_1}\,$ , $\vec{F_2}\,$ , $\vec{F_3}\,$ estan en un mismo plano y P esta en equilibrio entonces la resultante vectorial $\vec{R}\,$ = 0. La suma de los tres vectores forma geométricamente un triángulo equilátero pues | vert $\vec{F_1}\,$ ||=| vert $\vec{F_2}\,$ ||=| vert $\vec{F_3}\,$ || . Entonces $\vec{B'P}\,$ = $\vec{PC}\,$ y $\vec{PB'}\,$ es la resultante de $\vec{PA}\,$ y $\vec{PB}\,$ de donde - $\vec{F_i}\,$ = $\vec{F_j}\,$ + $\vec{F_k }\,$ con k, i, j = 1, 2, 3;j $\ne$ k $\ne$ i .

Considere el triángulo $\triangle$ PAB'. Cada lado es proporcional al seno del lado opuesto. El seno del ángulo $\angle$ APB' es igual al seno del ángulo $\angle$ CPA pues son ángulos suplementarios. El ángulo $\angle$ CPA esta formado por $\vec{F_1}\,$ y $\vec{F_3}\,$ entonces

$\displaystyle {\vert \vert \vec{F_1}\vert\vert\over {\mathop{{\rm {sen}}}\nolimits ( \widehat{ \vec{F_2} \vec{F_3}})}}$ = $\displaystyle {\vert \vert \vec{F_2}\vert\vert\over {\mathop{{\rm {sen}}}\nolimits ( \widehat{ \vec{F_3} \vec{F_1}})}}$ = $\displaystyle {\vert \vert \vec{F_3}\vert\vert\over {\mathop{{\rm {sen}}}\nolimits ( \widehat{ \vec{F_1} \vec{F_2}})}}$

Luego, como || $\vec{F_1}\,$ ||=|| $\vec{F_2}\,$ ||=|| $\vec{F_3}\,$ ||, se deduce que

sen $\displaystyle \nolimits$ ( $\displaystyle \widehat{\vec{F_2} \vec{F_3}}$ ) = sen $\displaystyle \nolimits$ ( $\displaystyle \widehat{\vec{F_3} \vec{F_1}}$ ) = sen $\displaystyle \nolimits$ ( $\displaystyle \widehat{\vec{F_1} \vec{F_2}}$ )

Y como la suma de los tres ángulos es 360^o se tiene que cada ángulo mide 120^o. Esto prueba que P es el punto de Fermat.