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Una primera aproximación a la idea del infinito se hace por oposición a la idea de lo que es finito, esto es, infinito es aquello que ``no es finito''.
La definición de finito indicada en el Diccionario de la Real Academia Española establece:
finito, ta.
Del lat. finitus, acabado, finalizado.
1. adj. Que tiene fin, término, límite.
Si se entiende como infinito el concepto opuesto al dado por la Real Academia Española se debe entender que infinito es todo aquello que ``no tiene fin, término ni límite''. Sin embargo, esta concepción puede no ajustarse a algunas nociones matemáticas en donde la idea de no tener fin, no tener límite o no tener término no es tan clara. Por ejemplo, se sabe que el intervalo [0, 1] es un conjunto infinito pero no es cierto que no tiene fin ni límite en el sentido de que es un conjunto acotado.
Por otro lado, en la misma referencia encontramos que en la definición de infinito se establece:
infinito, ta.
Del lat. infinitus.
1. adj. Que no tiene ni puede tener fin ni término.
2. [adj.] Muy numeroso, grande y enorme en cualquier línea.
3. [adj.] V. proceso en infinito.
4. [adj.] Esgr. V. línea infinita.
5. m. Mat. Signo en forma de un ocho tendido (
)2, que sirve para expresar un valor mayor que cualquier cantidad asignable.
6. adv. m. Excesivamente, muchísimo.
Se observa que las acepciones 1 a 4 junto con la 6 de esta definición son ambiguas. De la primera se podría pensar que conjuntos como un intervalo cerrado de R o bien, no es un conjunto infinito o bien no tienen fin ni término. De esta manera lo que valdría preguntarse es En qué sentido se habla de no tener fin ni término?
La segunda acepción y la sexta son imprecisas ya que nos indican en primera instancia que infinito es equivalente a muy numeroso o muy grande en cuyo caso se podría interpretar que un conjunto con una cantidad de elementos muy grande por ejemplo, desde este punto de vista, se podría pensar que (10!!!!!!!!!!!)10000 es infinito aunque sea una cantidad finita3. La expresión ``en cualquier línea'' de la segunda acepción es todavía más imprecisa pues no queda claro cual es el sentido matemático que se le desea dar a la expresión.
Las acepciones tres y cuatro son redundantes ya que están usando el mismo concepto que se está definiendo.
La quinta acepción está clasificada como el significado matemático que se le da a la expresión. En este caso, se relaciona con el concepto de cantidad. Revisando en la referencia mencionada su significado, obtenemos una suerte de acepciones matemáticas tan imprecisas como las anteriormente mencionadas dado que refieren implícita o explícitamente a otros conceptos tales como : unidad, estructura algebraica y relación de orden de un conjunto.
El lenguaje humano tiene la característica de ser abierto y en algunos casos polisémico. De esta forma, se pueden utilizar los conceptos de manera poco precisa y aún así estructurar un argumento de manera que la idea central se comprenda y sea común a los interlocutores aún cuando se este hablando de forma relativamente ambigua, esto es, no se da una definición precisa de los conceptos utilizados y cada interlocutor hace su propia lectura del texto con base en su experiencia previa y su bagaje cultural. En este contexto, el infinito mencionado en el DRAE hace referencia a la idea o noción de lo ``incomensurablemente grande'' , aunque esta noción deja a la interpretación y la experiencia del individuo de lo que entiende por ``incomensurablemente grande''.
Una anécdota que se escucha frecuentemente en la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica ilustra la forma en que se concibe el infinito de manera intuitiva: Sucedió durante una clase de Cálculo Diferencial e Integral. Cuando el profesor estaba desarrollando la teoría de límites al infinito y límites infinitos, un estudiante le pregunto Qué es el infinito? El Profesor le indicó:`` El infinito es algo como esto...''. Seguidamente tomo la tiza y comenzó a trazar una linea alrededor del aula dándole tres vueltas, luego sin dejar de trazar la línea, abrió la puerta y se fue...Los estudiantes se quedaron esperando pero el profesor no regresó. Cuando salieron vieron como la línea que el profesor trazó recorría las paredes, bajaba por las gradas y salía del edificio... A la clase siguiente, mientras los estudiantes esperaban la llegada del profesor, este se presentó trazando aún la línea con una tiza hasta llegar de nuevo a la pizarra y le dijo a los estudiantes: ``Bueno, esto no es el infinito pero al menos ya tienen una idea de lo que es''...
Se ve que, aun cuando el profesor trató de dar un ejemplo bastante ilustrativo del infinito, siempre quedó encasillado en un ejemplo finito pero ``muy grande''.
El concepto de infinito no se puede formar a partir de metáforas como la anterior. Unicamente se logra generar una idea intuitiva, imprecisa e incompleta de este. Por ejemplo, si observamos la líneas de un ferrocarril y notamos como se pierden el en horizonte perceptible, no se puede afirmar que la longitud de estas es infinita. Así, la imagen mental generada en este tipo de ejemplos solo puede formar una noción ``acotada'' del infinito.
Desde este punto de vista, el concepto de infinito tiene la misma naturaleza de los númenos kantianos.``Un númeno o noúmeno es un ente de razón,(``númeno" proviene de nous que significa razón en griego), o sea algo que puede ser pensado - pensar es lo propio de la razón-, pero no puede ser experimentado, no puede existir en la experiencia. Hay que apresurarse a añadir que el noumeno, aunque pensable por nosotros, no es comprensible. Para Kant, pensar no es comprender, ya que solo podemos comprender lo que es posible experimentar en la experiencia...'' (García Norro, Rovira, 1994). Esta situación coincide con el hecho de que aún no se han determinado conjuntos infinitos de entes, ni procesos infinitos en la naturaleza de donde se deduce que la mente humana no tiene un referente o una experiencia previa por medio del cual construir dicho concepto.
De esta manera, si asumimos que el concepto de infinito es efectivamente un noúmeno kantiano, queda claro que cualquiera de las metáforas con que queramos explicar el infinito, solamente nos dará una concepción reducida de este. De ahí la importancia de buscar una formulación matemática del término.
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