Los Números Transfinitos

En la sección anterior se estableció la existencia de cardinalidades infinitas diferentes. Estás cardinalidades son llamadas Números Transfinitos.

Cantor desarrolló la teoría de números transfinitos con la cual logró salvar la contradicción de la aniquilación de los números finitos por el infinito mencionada anteriormente. Primero construye los números a los que llamó Números Ordinales mediante las siguientes reglas:

De esta reglas vemos que los números naturales son todos números ordinales. Más aún, el infinito potencial indicado por Aristóteles producto del proceso de contar es también un ordinal en virtud de la regla 3. A este ordinal se le denota por $\omega$ . La aniquilación de los números finitos se salva mediante la regla 2 pues como $\omega$ es ordinal entonces los números

$\displaystyle \omega$ , $\displaystyle \omega$ + 1, $\displaystyle \omega$ + 2, $\displaystyle \omega$ + 3,..., $\displaystyle \omega$ + $\displaystyle \omega$ = 2 $\displaystyle \omega$ , 2 $\displaystyle \omega$ + 1,... $\displaystyle \omega^{2}_{}$ ,..., $\displaystyle \omega^{\omega}_{}$ ,...

En el desarrollo de esta teoría Cantor identificaba los números ordinales con conjuntos por ejemplo: 1 = {1}, 2 = {1, 2}, 3 = {1, 2, 3}, etc. De esta forma los ordinales transfinitos obtenidos del proceso de contéo se podían considerar diferentes.

Ahora bien, todos los ordinales transfinitos generados a partir de $\omega$ por medio de un proceso de conteo ( $\omega$ , $\omega$ + 1, $\omega$ + 2, $\omega$ + 3,...) tienen la misma cardinalidad. Esta cardinalidad es conocida como Alef-cero⁷ y se denota:

$\displaystyle \aleph_{0}^{}$ = Card $\displaystyle \nolimits$ ( $\displaystyle \omega$ )

Cantor define entonces los Números Cardinales como aquellos números ordinales que no tienen la misma cardinalidad que cualquier ordinal menor. Por ejemplo, todos los números ordinales finitos (vistos como conjuntos) son a su vez números cardinales. Sin embargo el ordinal transfinito $\omega$ + 1 no es un número cardinal pues $\omega$ < $\omega$ + 1 y ambos tienen la misma cardinalidad.

La existencia de cardinalidades mayores quedó demostrada en la sección anterior cuando se demostró que R tiene una cardinalidad mayor que N.

``Cantor llamó a los cardinales infinitos alefs, alef-cero ( $\aleph_{0}^{}$ ), es el primer cardinal infinito correspondiente al ordinal $\omega$ . `` $\aleph_{1}^{}$ '' es el primer ordinal con cardinalidad mayor que $\omega$ osea el primer ordinal que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con $\omega$ ''(Ortiz,1994). Siguiendo este proceso se obtienen los números cardinales siguientes: $\aleph_{2}^{}$ , $\aleph_{3}^{}$ ,..., $\aleph_{\omega}^{}$ , etc.

Por otro lado, el Teorema de Cantor establece que si $\sigma$ es un cardinal entonces se cumple que

Además, si $\sigma$ es un cardinal y S( $\sigma$ ) denota a el sucesor de $\sigma$ , entonces $\aleph_{S(\sigma)}^{}$ es el primer cardinal infinito más grande que $\aleph_{\sigma}^{}$ . Luego, en virtud del teorema de Cantor se tiene el siguiente resultado:

$\displaystyle \aleph_{S(\sigma)}^{}$ $\displaystyle \le$ 2

$\displaystyle \aleph_{1}^{}$ $\displaystyle \le$ 2 = $\displaystyle \bf c$

$\displaystyle \bf c$ = Card $\displaystyle \nolimits$ ( $\displaystyle \cal {P}$ (N)) = 2 = $\displaystyle \aleph_{1}^{}$

Se dice que tal afirmación es ``indecidible'' en la teoría de conjuntos con la axiomática de Zermelo-Fraenkel ya que en 1940 Gödel demostró que la hipótesis del continuo es consistente con esta axiomática y en 1963 Paul Cohen demostró que su negación también es consistente. Más aún, Cohen demostró que el Continuo puede ser cualquier cardinal mayor o igual que $\aleph_{2}^{}$ .