El concepto de infinito

| José Rosales O | Pedro Díaz N.  | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

 

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Algunos Conjuntos Infinitos

 

De la definición establecida en el apartado anterior y la definición de cardinalidad se puede justificar porque el conjunto de los números naturales N es infinito sin recurrir a un argumento de proceso ilimitado que es el que comunmente se usa para justificar la infinitud de N.

Se puede afirmar que N es un conjunto infinito notando el hecho de que existe una función biyectiva entre N y el subconjunto de los números pares P. Basta tomar la función f : N$\to$P; f(n) = 2n. Fácilmente vemos que esta función es una biyección de N en P . También se puede probar la infinitud de los naturales estableciendo una biyección entre N y el subconjunto de los números impares I.

El conjunto P es también infinito. Para ver esto basta considerar la biyección que se establece entre él y el conjunto 2P = {k $\in$ P : k = 2p;  p $\in$ P} = P - {2} mediante la biyección h : P$\to$2P;  h(p) = 2p.

Análogamente se demuestra que el conjunto de números impares I es también infinito asociando cada número impar i $\in$ I con números de la forma i + 2, i $\in$ I.

Ahora como Z, Q y R contienen a N, la cardinalidad de estos tres conjuntos debe ser mayor o igual que la de N y por lo tanto también son infinitos.

Se puede demostrar que el conjunto Z de los números enteros es también un conjunto infinito usando un argumento similar a los anteriores. Para esto basta considerar la función g : N$\to$Z que asocia a los números positivos junto con el cero los números pares y a los números negativos les asocia los impares. Así, como N tiene cardinalidad infinita y es equipotente con Z, se tiene que Z debe tener cardinalidad infinita y por lo tanto es infinito. Más aún, esta demostración no solo dice que Z es infinito sino que además tiene la misma cardinalidad de los naturales. Dicho de otra forma Z y N tienen el mismo número de elementos !!

Se puede demostrar que el conjunto Q de número racionales es equipotente con N. Esto da el sorprendente resultado de que un conjunto denso como lo es el conjunto de números racionales es del mismo tamaño, en términos de cardinalidad, que el conjunto de números naturales el cual es discreto.

Para demostrar que Q y N son equipotentes generamos un arreglo rectángular de números racionales de la siguiente manera: En la primera fila colocamos todos los racionales que tienen denominador igual a 1, esto es, los números enteros. En la segunda fila colocamos todos los racionales con denominador igual a 2 de la forma ${\frac{a}{2}}$ de con a primo relativo con 2. La tercera fila la construimos de manera análoga tomando los racionales con denominador igual a 3 de la forma ${\frac{a}{3}}$ con a y 3 primos relativos. Continuando este proceso obtenemos la siguiente tabla:

0

1

-1

2

-2

3

-3

4

-4...$$\cr$$$$\cr$$$${\textstyle\frac{1}{2}}$$

$${\frac{-1}{2}}$$

La biyección f : N$\to$Q se obtiene asignando los valores utilizando las diagonales del arreglo como en la secuencia siguiente:

f(1)=0,  f(2) =1,  f(3) =$${\textstyle\frac{1}{2}}$$,  f(4) =$${\textstyle\frac{1}{3}}$$, f(5) =$${\frac{-1}{2}}$$, f(6) = -1,  f(7) = 2,

f(8)=$${\textstyle\frac{3}{2}}$$, f(9) =$${\frac{-1}{3}}$$, f(10) =$${\textstyle\frac{1}{4}}$$, f(11) =$${\textstyle\frac{1}{5}}$$, f(12) =$${\textstyle\frac{1}{6}}$$,...

Estos ejemplos sirven para definir la idea de "numerabilidad'' de un conjunto. Newpage Decimos que un conjunto S es numerable si tiene la misma cardinalidad que algún subconjunto de N⁶.

De esta manera se dice que Z y Q son conjuntos numerables.

Un resultado aún más sorprendente es el que encontramos en [3] donde se demuestra que si {A_i}_{i $\in$ N} es una familia de cardinalidad numerable cuyos elementos son conjuntos numerables entonces su unión $\bigcup$A_i es también numerable.

Este resultado brinda una demostración diferente de la numerabilidad de Q si observamos que todas las filas del arreglo anterior son conjuntos numerables. En consecuancia su unión, que es Q, también lo es.

Sin embargo no todos los conjuntos infinitos son numerables. El siguiente ejemplo tomado de [3] nos demuestra que el conjunto de números Reales R es infinito pero de cardinalidad mayor que la de N. A este tipo de conjuntos se les denomina no numerables.

Sea S el conjunto de expanciones decimales menores que 1 tal que sus elementos son números cuyos dígitos son solamente 0 o 1. Se demostrará que S es no numerable. Supongamos por contradicción que S es numerable. Entonces por definición existe una biyección f de N en S. Como en el caso de los racionales podemos considerar una tabla de valores donde se pueden contar los elementos de S.

$$\begin{tabular}{ccc} $n$& &$f(n)$\cr 1&&0.011010\dots\cr 2&&... ...001\dots\cr 4&&0.000111\dots\cr \vdots&&\vdots\cr \end{tabular}$$

Ahora consideramos un elemento x = 0.x₁x₂x₃x₄... de S de la siguiente manera: Si el primer digito de f (1) es 0 entonces x₁ = 1 y si el primer dígito de f (1) es 1 entonces x₁ = 0. Análogamente, si el segundo dígito de f (2) es 0 entonces x₂ = 1 y si el segundo dígito de f (2) es un 1 entonces x₂ = 0. En genberal, si el n-ésimo dígito de f (n) es 1, sea x_n = 0, y si el n-ésimo dígito de f (n) es 0, sea x_n = 1. De esta forma, 0.x₁x₂x₃x₄... no puede ser f (n) para algún n $\in$ N ya que 0.x₁x₂x₃x₄... difiere de cada f (n) en al menos el n-ésimo digito en virtud de la forma en que se construyó. Así, f no es una biyección y por lo tanto S es no numerable.

Luego como S es un subconjunto propio de R, se tiene que R es también no numerable pues su cardinalidad debe ser mayor o igual a la de S. La cardinalidad de R es conocida como El Continuo y se denota por c. El Continuo c coincide con la cardinalidad del conjunto de partes o conjunto potencia $\cal {P}$(N) de N.

$$\bf c$$ = Card$$\nolimits$$($$\cal {P}$$(N)) = 2^{Card$\nolimits$(N)}

Es un cardinal tan grande en relación con la cardinalidad de un conjunto numerable que si se le extrae una familia $\cal {A}$ numerable de conjuntos numerables, la cardinalidad del conjunto resultante R - $\cal {A}$ debe ser no numerable pues de lo contrario la familia $\cal {A}$ $\cup$ (R - $\cal {A}$) sería también numerable en virtud del resultado anteriormente mencionado que indica que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

Este resultado nos dice que existen cardinalidades infinitas distintas. Intuitivamente, se establece que existen `` infinitos de distinto tamaño''.

 

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