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``Uno de los logros más grandes de la matemática como lenguaje ha sido su propio coraje imaginativo para enfentar el concepto más inaccesible y paradójico que haya podido pretender la fragilidad temporal del intelecto humano: el concepto de infinito''(Ortiz,1994.)
Grandes matemáticos han tratado de dar una definición del infinito. a lo largo de la historia. En la Grecia antigua Platón, Pitágoras y Aristóles entre otros, se planteaban la existencia del infinito y las contradicciones generadas a partir de la aceptación de su existencia.
Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto. Él concibió dos tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual. ``La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión ``así sucesivamente'' encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito.(Ortiz,1994)
Esta noción de infinito es la usada en las acepciones analizadas del DRAE y de hecho es la noción empleada en el desarrollo moderno del concepto de límite infinito y límite al infinito del cálculo infinitesimal.
Por otra parte, el infinito actual se refiere al un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso. Kant aceptaba la posición de Aristoteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia.
En la terminología matemática moderna nos podemos referir al infinito potencial de Aristóteles si usamos una unidad de medida u y hacemos uso de la propiedad arquimediana para indicar que, para cualquier cantidad M positiva, es posible encontrar un número natural k de manera que al superponer k veces la unidad u se tiene ku
M. De esta forma al tomar valores de M cada vez mayores es posible crear un proceso que tiende al infinito.
Otra manera de ver el infinito potencial es considerar la unidad u representada como un segmento de recta y considerar el proceso de división en el punto medio para obtener una cantidad infinita de segmentos contenida en la unidad una vez que ``se continua indefinidamente el proceso de división''. Esta idea fue la que produjo la paradoja de Xenón.
Por otro lado, la formalización de noción de infinito actual o infinito como un todo requiere del desarrollo de la teoría de conjuntos cuyo desarrollo ``se puede decir que inicio con los trabajos de Bolzano'' (Ortiz,1994).
Cantor en el siglo XIX desarrolló la teoría de conjuntos y la teoría de números transfinitos con lo cual indica que ``la existencia de un infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual.'' (Ortiz,1994)
La teoría de conjuntos desarrollada por Cantor tiene en su fundamentó una axiomática consistente que permite construir los conjuntos y posteriormente establecer el concepto de infinito. Para esto es necesario definir el concepto de ``cardinalidad'' o ``Potencia'' de un conjunto.
Dos conjuntos S y T se dicen que tienen el mismo número de elementos o que tienen la misma cardinalidad o son equipotentes, si existe una función f biyectiva definida de S en T
Se puede definir una relación de equivalencia en términos de la cardinalidad de conjuntos
De esta manera si un conjunto S que sea equipotente con un subconjunto
{1, 2, 3,..., n} 
N se dice que tiene n elementos o que su cardinalidad es n y escribimos
(S) =|S|= n
A partir de esta definición se puede establecer la idea de conjunto finito y conjunto infinito. Actualmente la definición aceptada de conjunto infinito es la dada por Bolzano:
Un conjunto no vacío A es finito si para algún entero positivo n, A es equipolente4 a {1, 2, 3, 4, 5,..., n}; de otra forma A es infinito.
Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipolente a A; en cualquier otro caso A es finito.(More citado por Ortiz,p.66)
La definición de Bolzano plantea una contradicción con la intuición que se tiene de subconjunto propio ya que si un conjunto A tiene un subconjunto
propio B, la intuición indica que B es necesariamente más pequeño que A debido a que existen elementos de A que no están en B. Este tipo de contradicción aparente es la que llevó a los griegos a negar la existencia del infinito. Ellos pensaban que el infinito no podía existir pues dicha existencia producía la aniquilación de los números al ser sumados al infinito, esto es :
a + 
= .
De esto se deriva que la forma en que percibimos el mundo de lo finito y la lógica empleada para explicar los fenomenos finitos puede no ser aplicable a situaciones en las que medie el concepto del infinito. Por ejemplo, la paradoja de Xenón, la trompeta de Gabriel5, la convergencia de las series, la densidad de los números racionales, etc.
En el desarrollo de la teoría de números transfinitos, usando el concepto de cardinalidad Cantor estableció que se podía sumar números finitos a cardinalidades infinitas sin que se produjera dicha aniquilación. Sobre este tema hablaremos posteriormente.
Una de las axiomáticas mediante la cual se desarrolla la teoría de conjuntos es la axiomática de Zermelo-Fraenkel. La imposibilidad de demostrar la existencia de conjuntos infinitos hace que en esta axiomática se deba incluir un axioma que establezca su existencia. Este axioma llamado el Axioma de Infinitud establece:
(De Infinitud) Existe al menos un conjunto infinito.
El axioma de infinitud postula la existencia del infinito actual pues si existe un conjunto infinito 
entonces existe un infinito actual en términos de
su cardinalidad y escribimos:
=||= 