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Ejercicios - Parte I

1. Haga el estudio completo de las siguientes funciones y construya la gráfica. En el estudio completo debe aparecer:

  • Dominio o rango.

  • Puntos de intersección con los ejes.

  • Análisis de la segunda derivada (Crecimiento y puntos críticos).

  • Análisis de la segunda derivada (Concavidad y punto de inflexión).

  • Comportamientos asintóticos, asíntotas: verticales, horizontales u oblicuas.

  • Cuadro de variación.

  • La gráfica.

Funciones

  • f(x)=\frac{x^2}{x^2+3}  con  f'(x)=\frac{6x}{\left(x^2+3\right)^2}  y  f''(x)=\frac{-18\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+3\right)^3}

  • g(x)=\frac{x^2-6x+12}{x-4}  con  g'(x)=\frac{x^2-8x+12}{(x-4)^2}  y  g''(x)=\frac{8}{(x-4)^3}

  • y=\frac{2+x-x^2}{(x-1)^2}  con  y'=\frac{x-5}{(x-1)^3}  y  y''=\frac{2(7-x)}{(x-1)^4}

  • y=x^3+x^2-5x+3  con  y'=3x^2+2x-5  y  y''=6x+2

  • f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{x^2+x-1}{x-1} & \mbox{si} & x\geq 0 \\ \frac{x^2-9}{x^2-4} & \mbox{si} & x<0\\ \end{array} \right.   con  f'(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{x^2-2x}{(x-1)^2} & \mbox{si} & x\geq 0 \\ \frac{10x}{\left(x^2-4\right)^2} & \mbox{si} & x<0\\ \end{array} \right.  y

    además  f''(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{2}{(x-1)^3} & \mbox{si} & x\geq 0 \\ \frac{-10\left(3x^2+4\right)}{\left(x^2-4\right)^3} & \mbox{si} & x<0\\ \end{array} \right.

  • h(x)=\frac{2x}{x^2-1}

  • t(x)=\frac{x^3-4}{x^2}

  • g(x)=\frac{x^3+2}{x}

  • t(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{x^2+1}{x} & \mbox{si} & x\leq 1 \\ \frac{x^2}{x^2-1} & \mbox{si} & x>1\\ \end{array} \right.