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Trazado de Curvas - Parte I

El trazado de curvas a partir de un estudio completo reúne temas que hemos cubierto a lo largo del curso.  En una primera etapa se determina el dominio máximo de la función y los puntos de intersección con los ejes.  Como segunda etapa está el análisis de monotonía y concavidad, con extremos relativos y puntos de inflexión.  En una tercera etapa concentraremos el estudio de asíntotas, en nuestro caso se trata de asíntotas verticales, horizontales, oblicuas.  Finalmente todo se reúne en un cuadro resumen que es clave en la construcción de la gráfica.


Ejemplo 1

Considere la función  \frac{5\left(x^2-1\right)}{x^2-4}, vamos a realizar un estudio completo de ella para culminar en la construcción de su gráfica.  Los aspectos teóricos aparecerán conforme lo necesitemos.

1. Dominio máximo

Al buscar el dominio de una función la tomamos tal y como ella está, no la simplificamos pues esto podría hacernos perder de vista discontinuidades evitables, o algunas otras particularidades de ella. Aquí tenemos una función racional por lo que en este caso tenemos D_f=\mathbb{R} - \{-2,2\}.


2. Intersección con los ejes

Para hallar la intersección con los ejes buscamos $f(0)$, en este caso es $\frac{5}{4}$, con lo cual tenemos el punto $\left(0,\frac{5}{4}\right)$.

En el caso de la(s) intersecciones con el eje X debemos resolver la ecuación $f(x)=0$. En nuestro ejemplo \frac{5\left(x^2-1\right)}{x^2-4}=0 \Rightarrow 5\left(x^2-1\right)=0 \Rightarrow x=\pm 1, con lo cual tenemos dos puntos de intersección: $(-1,0)$ y $(1,0)$.


3. Estudio de Monotonía

En esta etapa debemos estudiar la monotonía de la función, esto es encontrar los intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente, para ello vamos a utilizar el siguiente teorema.