Trazado de Curvas - Parte V

4. Estudio de concavidad

Definimos la segunda derivada de una función como la derivada de la primera derivada de dicha función. Así como hablamos de concavidad en las funciones cuadráticas podemos hacerlo para las funciones en general. Veamos los aspectos teóricos relacionados.

Definición

Definición estudio de concavidad

Teorema

Teorema estudio de concavidad

Definición

Así que requerimos analizar la variación de signo de la función segunda derivada. Procedemos a su cálculo.

$\begin{eqnarray*} f''(x) &=& \frac{(-30x)\left(x^2-4\right)^2-(-30x)\cdot 2 \cdot \left(x^2-4\right)(2x)}{\left(x^2-4\right)^4}\\\\\\\\ &=& \frac{(-30x)\left(x^2-4\right)-(-30x)\cdot 2 \cdot (2x)}{\left(x^2-4\right)^3}\\\\\\\\ &=& \frac{-30x^2+120+120x^2}{\left(x^2-4\right)^3}\\\\\\\\ &=& \frac{90x^2+120}{\left(x^2-4\right)^3} \end{eqnarray*}$

Igual que antes requerimos que la expresión sea factorizada por completo

$\frac{90x^2+120}{(x+2)^3(x-2)^3}$

A partir de esta expresión tenemos el siguiente cuadro

Cuadro expresión factorizada

De donde se tiene que la función es cóncava hacia arriba en los intervalos $]-\infty,-2[$ y $]2, +\infty[$ ; mientras que es cóncava hacia abajo en .

La función no presenta puntos de inflexión, note que los valores y no cumplen con la definición de punto de inflexión.

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