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Trazado de Curvas - Parte II

Teorema

Teorema de trazado de curvas


Así que vamos a calcular la primera derivada de f(x)=\frac{5\left(x^2-1\right)}{x^2-4}, para luego construir una tabla de variación de su signo.


f'(x)=\frac{(10x)\left(x^2-4\right)-\left(5x^2-5\right)(2x)}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{10x^3-40x-10x^3+10x}{\left(x^2-4\right)^2}=frac{-30x}{\left(x^2-4\right)^2}


Para analizar su variación de signo de forma sencilla requerimos que nuestra derivada se presente factorizada por completo, para ello la reescribimos como sigue.


f'(x)=\frac{-30x}{(x+2)^2(x-2)^2}


A partir de esta expresión tenemos el siguiente cuadro:


Cuadro teorema de Trazado de Curvas

De donde se tiene que la función es creciente en los intervalos ]-\infty,2[  y ]-2,0[ y decreciente en ]0,2[ y ]2,+\infty[.

Debemos detallar la situación con x=0, note que allí la función primera derivada se anula.