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Desde luego, como nos muestra la historia, existen algunos problemas donde la ruta seguida es única, es decir se tiene una única representación para la EDO, también se tiene un único acercamiento para encontrar la solución y en ocasiones la representación de la solución no se  puede articular con otras representaciones con el fin de que nos suministren un conocimiento más amplio de la solución y en general del modelo estudiado.

En particular, en el problema anterior, la ruta seguida es la mostrada en la siguiente figura.

Lo primero que podemos observar es que la ruta seguida no es única y que la búsqueda de la solución pone en juego una gran cantidad de representaciones (algebraicas, gráficas, etc.), que es necesario articular, con el fin de tener una mejor comprensión del modelo.

En el caso de la figura se partió de la EDO de primer orden  , desde luego que se hubiesen podido seleccionar cualquiera

de las otras dos representaciones. Después, elegimos el marco algebraico en su primera variante, es claro, que se podrían tomar las otras dos alternativas, v.gr., emplear las series de potencia o bien las transformadas de Laplace. También se pudo elegir el marco geométrico (o el numérico) y hacer un análisis cualitativo de las soluciones. El marco conduce a una representación (algebraica) para la solución la cual es necesaria articular  con otras representaciones, para finalmente, llegar al modelo. En este sentido la noción de marco es dinámica (Douady (1986)). En la figura del Anexo 3 se muestran otras alternativas para la ruta.

2. Tópico desarrollado.

El ejemplo más abajo brindado,  se  relaciona  de  manera natural  con  las  teorías del aprendizaje  que  estipulan:   "la inteligencia se construye en la medida donde la experiencia nueva no  viene  simplemente a añadirse al conocimiento  anterior  sino provoca una reorganización, una reestructuración del conocimiento en una totalidad coherente. El progreso está, por tanto, ligado a la presencia de un conflicto (una contradicción) entre el  objeto y los esquemas utilizados para aprenderlo" (Hitt (1978)). El   percatarse  de  la  existencia  de  un  conflicto   (o   una contradicción)  ya por sí solo es un elemento de progreso, aún  y cuando no pueda resolverse.

Hemos apuntado, que la contradicción en Matemática es muy importante dentro del desarrollo de esta y la sensibilidad a  las  contradicciones  matemáticas no  era  una característica principal  de  la mayoría de los matemáticos  anteriores  a  este siglo   (Hitt (1994)  y  Phili (s/f)).  El  desarrollo  de   esta sensibilidad   tiene  una  relación  estrecha  con  los   modelos heurísticos antes señalados y, por supuesto, con el desarrollo de la Matemática en este siglo.

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