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3. A
modo de conclusión. Nuestra investigación afrontó el estudio de la integración de los marcos numérico, algebraico y geométrico con respecto al curso de EDO para la Licenciatura en Educación, especialidad Física-Electrónica, la que nos llevó a describir un inventario de los libros de textos y el enfoque predominante en cada uno de ellos, así como de nuestras posiciones epistemológicas y psicopedagógicas, que en ocasiones precisan las conocidas hasta este momento. Es un hecho incuestionable en nuestros días la presencia del ordenador en casi todos los ámbitos de la vida cotidiana. El sistema educativo, no puede ni debe mantenerse al margen si pretende una enseñanza de calidad que forme ciudadanos capaces, y precisa incorporar el conocimiento y manejo de los ordenadores como uno de sus objetivos. Además, como hemos visto en el trabajo y en las diferentes fuentes consultadas para su elaboración, el ordenador ofrece interesantes posibilidades didácticas, que aúnan la capacidad de visualización gráfica del vídeo con la interactividad inherente al proceso de enseñanza-aprendizaje. El término visualización es de uso reciente en Educación Matemática, para describir aspectos tales como: “...en la visualización matemática lo que nosotros estamos interesados es precisamente en la habilidad de los estudiantes en dibujar un diagrama apropiado (con lápiz y papel o con ordenador) para representar un concepto o problema matemático y utilizar el diagrama para alcanzar la comprensión, y como una ayuda en la resolución del problema ... Visualizar un problema significa comprender el problema en términos de un diagrama o imagen visual. La visualización matemática es el proceso de formar imágenes (mentalmente, con lápiz y papel o con ayuda de materiales o tecnología) y utilizar estas imágenes de manera efectiva para el descubrimiento y la comprensión matemática”. Zimmermann y Cunningham (1991). Del trabajo realizado resulta necesario extraer algunos aspectos importantes que a modo de conclusiones resumimos: - Creemos que con lo apuntado, se muestra cómo es posible integrar los marcos de solución de una EDO, con el objetivo que los estudiantes conozcan el significado de dicho objeto. - Para la implementación de la propuesta se ha destacado el rol que desempeñan los paquetes simbólicos de cálculo y las calculadoras gráficas, por lo que los docentes deben profundizar en el uso de ellos. - La elaboración de las secuencias didácticas, que constituye el núcleo fundamental de la Ingeniería Didáctica, depende de las condiciones de cada aula, profesor, institución, etc. Tal y como se tuvo en cuenta en la Transposición Didáctica (ver Anexo 1). Tal como ya hemos señalado, el curso de EDO tiene que realizarse bajo la óptica de una integración de los tres escenarios discutidos antes. En concreto, la integración de estos, se ha mostrado como una herramienta poderosa que permite al estudiante, interactuar con los diversos marcos y desarrollar el pensamiento lógico de los mismos. De esta forma, el curso será más productivo. La fundamentación de la propuesta, se ha revelado como punto de referencia importante para aplicar en futuras investigaciones. La propia concepción de la investigación como un proceso, nos abre un enorme campo de investigaciones en la “parcela” precisa del curso de EDO en otras especialidades. La puesta en práctica de la misma, abre un abanico de problemas que precisan nuevas investigaciones, entre las que destacamos los siguientes aspectos: a) Diseño de una validación de la misma, incorporando nuevas situaciones de valoración de integración de los tres marcos; b) Diseño e implementación de situaciones didácticas que propicien la
reflexión metacognitiva; Creemos que con el
ejemplo apuntado, hemos presentado a los docentes una alternativa
válida en el tratamiento didáctico del curso de EDO. Esta experiencia intenta
de un modo general, crear en las clases de EDO un ambiente de investigación
que interese al alumno, provocando la reflexión e intentando que los
conocimientos que se vienen impartiendo, maduren con los entornos
considerados, los que proporcionan una conexión de los conocimientos que no
se había explotado antes, esta conexión estimula el uso dinámico de cada uno
de ellos, tanto en problemas de la asignatura, como en clases de Óptica,
Mecánica, etc. Basta repasar la riqueza que la experiencia dejó, para convencerse
de lo dicho: ·
Se usaron conocimientos de variadas áreas de la Matemática: análisis
numérico, geometría, análisis clásico, etc. que comúnmente aparecen
desligados del curso en cuestión. ·
Se utilizó la PC no sólo como herramienta de cálculo, sino como un
medio de razonamiento. La ecuación (1) resultó un ejemplo adecuado en esta
dirección, el trazado de las soluciones mediante el paquete GRAPHMAT, arrojó
interesantes observaciones sobre por qué no trazaba las soluciones como
circunferencias concéntricas y sólo las tomaba como semicircunferencias que
no "tocaban" el eje x. ·
Se manejó el software matemático DERIVE, programa que enriquece
notablemente la formación de todo alumno universitario, sobretodo, si éste
será un profesor en el futuro. Pero sin duda
alguna, el aspecto más enriquecedor globalmente, fue el trabajo realizado con
los tres marcos, mostrando a los estudiantes cuán fecunda y conveniente
resulta esta unión. En el trabajo Nápoles
y Negrón (2002), intentamos explicar la preeminencia del escenario
algebraico en los cursos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, a partir de
un esbozo histórico de éstas, enfocado, no a brindar una cronología de los
resultados obtenidos, sino a los métodos, problemas, dificultades y
obstáculos que han enfrentado los matemáticos en este campo de investigación,
y su repercusión en los libros de textos más conocidos, por lo que creemos
que puede ser interesante su consulta. De esta
forma, la Historia de la
Matemática no es
un simple conjunto de problemas históricos que introducir
en clase, unas anécdotas
biográficas que motiven al
alumno, no es un
recurso ocasional sino uno
de los fundamentos
epistemológicos de la actual
reforma escolar (Maza
(1996)). Queremos señalar, algunas observaciones generales
sobre la utilización de los recursos históricos en nuestras clases: · casi toda la
Matemática ha sido construida sobre una sucesión de ideas precedentes y como
uno puede volver sobre esta cadena, la motivación para un problema se torna
claro, · los estudiantes al
dedicarse a un problema original, se relacionan con la experiencia de la
creación matemática, sin un interprete intermedio, · además, algo muy
relacionado con el punto anterior, los estudiantes son iniciados en el camino
de la creación matemática de una forma práctica: investigación, publicación y
discusión. · la objetividad
histórica no debe ceder ante las necesidades pedagógicas, sino integrarse a
las mismas (ver Garciadiego (1997)),
ejemplo de esto son los muy conocidos E.T. Bell-“Men of Mathematics”, New York, Simon and Schuster, 1937 y L.
Infield-“Whom the gods love”, New
York, Whittlesey House, 1948, mal concebidos como tratados históricos en
virtud de un determinado interés motivacional. A raíz de este trabajo, creemos útil destacar los siguientes aspectos
a manera de epílogo: 1. La consideración
del desarrollo histórico de los entes
matemáticos, permite trabajar en la labor docente con las concepciones
primarias de dichos entes, lo que indiscutiblemente ayuda a clarificar la comprensión de estos,
por parte de los alumnos. 2. Que el significado
de los objetos matemáticos debe tomarse en su triple significado:
institucional, personal y temporal, es decir, el entorno en el cual se
desarrolla la enseñanza de estos, influye
sobre la interpretación que de estos se hagan los alumnos. 3. Que existen
diferencias cualitativas entre el funcionamiento académico (a nivel de
investigación, como “saber sabio”) de un determinado conocimiento y el
funcionamiento didáctico del mismo ya que, por diversas causas, los usos y
connotaciones de las nociones matemáticas tratadas en las instituciones de
enseñanza son necesariamente restringidas. 4. Que detrás de toda
teoría sobre la formación de conceptos, o más general, de toda teoría del
aprendizaje hay unos presupuestos epistemológicos sobre la naturaleza de los
conceptos o como afirma Thom: “Toda la
pedagogía de las Matemáticas, aún si apenas es coherente, descansa en una
filosofía de la Matemática”. 5. Que la Matemática
debe ser considerada como una clase de actividad mental, una construcción
social que encierra conjeturas, pruebas y refutaciones, cuyos resultados
están sometidos a cambios revolucionarios y cuya validez, por tanto, puede
ser juzgada con relación a un
enclave social y cultural, contrario a la visión
absolutista (platónica) del conocimiento matemático. 6. Que el enfoque unificador, proporcionado por la integración de los tres marcos considerados proporcionará, a la labor docente, más beneficios que dificultades. Revista
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