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Una segunda actitud, nos conduce a no abandonar el marco algebraico, sino por el contrario, complementarlo con los otros acercamientos para así tener una mayor riqueza (de conexiones) entre las representaciones y así poseer más herramientas al abordar el estudio de los modelos que están descritos mediante ecuaciones diferenciales, los cuales mayormente en el nivel al cual fue dirigida nuestra propuesta, conducen a ecuaciones de variables separables y lineales (de primer y segundo orden). A partir de estas premisas, nos centramos más en los métodos para
resolver ecuaciones lineales de primer y segundo orden; así dentro del marco
algebraico, básicamente estudiamos los procedimientos para resolver
ecuaciones lineales de primer y segundo orden, tomando como estrategia,
partir de ecuaciones de variables separables, continuar con exactas y
lineales, para desarrollar estas actividades se utilizó un sistema de tareas
(Garcés (1997)), lo cual a nuestro juicio tiene muchas
ventajas y completó nuestra propuesta
en el uso del software computacional dentro
de este marco,
fundamentalmente el de ayudar al cálculo de integrales, a la
simplificación de expresiones algebraicas y tener estrategias (cuando esto
sea posible) para articular la solución (algebraica) con su representación
gráfica, para lo cual es factible el uso de los procesadores simbólicos como
Derive, Mathematica y otros. Una tercera actitud que se asumió, fue la
implementación del marco geométrico desde el inicio, desarrollando
actividades que permitan trazar el conjunto de curvas compatibles con el
campo de pendientes, como sabemos, esto siempre es posible en el caso de
ecuaciones de primer orden y en algunas de segundo orden susceptibles de ser
reducidas a ecuaciones de primer orden (v.gr., la lineal homogénea de segundo
orden con coeficientes constantes). En cuanto a la puesta en práctica de este
acercamiento, se presentan dificultades con el trazado del campo de
pendientes, cuestión que puede simplificarse con la ayuda del software
computacional y lo más delicado es el tratamiento gráfico que se da en los
cursos tradicionales al concepto de función (recordemos que en este
acercamiento, básicamente lo que
tenemos que hacer es graficar funciones que vienen descritas en términos de
su derivada). En esta dirección nos podemos auxiliar, al inicio, con una serie
de ejercicios que permitan manejar gráficas sin el apoyo de su expresión
analítica, en este aspecto son útiles los trabajos realizados por Hitt (1992, 1995) y Garcés (1997). El software computacional lo usamos en forma interactiva, proporcionando campos de pendientes trazados con la ayuda de la microcomputadora, con el fin de que los estudiantes bosquejen sobre éste, el conjunto compatible de curvas de solución. El acercamiento numérico que no forma parte del programa de estudio actual, cuando se expone en los libros de textos actuales, se hace de una forma muy descriptiva, o en algunos casos desarrollando programas en algún lenguaje de programación. Como sabemos, esto se puede implementar de una forma efectiva mediante el uso de la hoja electrónica Excel. Dentro de nuestra experiencia, tal marco de resolución se adoptó desde un inicio como preludio del marco geométrico, ya que nos permite por un lado, pasar de la construcción (por medio de las quebradas de Euler) de una solución particular a la solución general y por otro, articular la representación tabular con la gráfica. Por último, el marco numérico (los algoritmos
clásicos como el de Euler, Euler mejorado y el de Runge-Kutta) considerarlos
en la enseñanza de las EDO desde un inicio o bien al final. Por otra parte, el desarrollo de las modernas computadoras ha hecho posible la implementación de métodos numéricos con una rapidez de convergencia sumamente elevada, de ahí la posibilidad de la utilización de los mismos. Pudiéramos
citar otro ejemplo que ilustra lo anterior, el caso de la ecuación
diferencial Sin embargo, analizando el marco geométrico y siguiendo el esquema de Brodetsky (ver Brodetsky (1919)) tendremos: 1. Los lugares geométricos donde f(t,x)=0, son las rectas x =1 y x = -1. 2.
El lugar geométrico donde Estos lugares dividen al plano en compartimentos donde x’ › 0 (en el ejemplo x › 1 o x ‹ -1) y x’ ‹ 0 (-1 ‹ x ‹ 1). 3. Al calcular x’’ obtenemos x’’ = 2xx’ y analizando la ecuación x’’=0, resultan los lugares geométricos x =0, x =1, x = -1. Estos lugares determinan regiones en el plano, donde las curvas son cóncavas hacia arriba (x › 1, -1 ‹ x ‹ 0) y cóncavas hacia abajo (x ‹ -1, 0 ‹ x ‹ 1). 4. Para completar el análisis trazamos un número de segmentos de
tangentes en una cantidad conveniente de puntos, para trazar las curvas
integrales compatibles con dicho campo
(Anexo 4). Todo lo anterior nos lleva a la siguiente proposición en cuanto a los contenidos a tratar: · Introducción: ¿Qué es una ecuación diferencial?, marcos de solución. · El marco geométrico (estudio cualitativo de la solución): Campos de direcciones, isoclinas, ... · El marco algebraico: Separación de variables, ecuaciones exactas, ecuaciones diferenciales lineales, variación de constantes, coeficientes indeterminados, modelos y soluciones en series. · El marco numérico: Método de Euler, Euler mejorado y Runge-Kutta, análisis de errores. El análisis a priori nos ha conducido a la propuesta descrita anteriormente, es decir, a la ingeniería didáctica propiamente dicha. Posteriormente, correspondió la elaboración de secuencias didácticas, la aplicación de las mismas, la observación y evaluación del conocimiento de los estudiantes. Si tuviéramos que
establecer otro orden "territorial" de cómo deben tratar los
entornos, diríamos que: ·
El enfoque algebraico, por su propia génesis y desarrollo, debe tratarse en un primer momento. ·
El enfoque geométrico, puede ocupar
un lugar intermedio dada las posibilidades de explotación que
presenta. Basta como ejemplo la ecuación x" + senx = 0. ·
El enfoque numérico,
retomaría múltiples situaciones de los enfoques que le precedieron. El tema tratado,
nos lleva a adoptar el punto de vista del matemático práctico (Hersh
(1986), Lakatos (1986) y Putnam (1986)) que desafía la suposición
que el conocimiento matemático es a
priori e infalible. Argumentan
que el conocimiento matemático es, en realidad, falible y, en este sentido,
es similar al conocimiento de las ciencias naturales. “Nuestro dogma filosófico heredado y
no examinado es que la verdad matemática debe poseer absoluta certeza.
Nuestra experiencia actual en el trabajo matemático ofrece incertidumbre en
abundancia” (Hersh (1986)), similar posición es adoptada por Kline
(1985). Una suposición que subyace en esta afirmación es
que saber matemática es hacer matemática. Lo que caracteriza a
la Matemática es su construcción, sus actividades creativas o procesos
generativos. Esta visión de la Matemática “en
acción” es consistente con la concepción de la enseñanza de la Matemática
sostenida por eminentes matemáticos (Halmos (1975),
Polya (1963), Steen (1988), Thom (1973)) y muchos en Educación Matemática; una
concepción reflejada en documentos tales como “The
Cockcroft Report” (Committe of Inquiry into the Teaching of Mathematics in School
(1983)) y “Every body counts” (National Research
Council (1989)). La concepción de la enseñanza de la Matemática que se recoge
en estos documentos es aquella en la que los estudiantes se ocupan en
actividades con un fin, que emergen de situaciones problémicas, que requieren
razonamiento y pensamiento creativo, recolección y aplicación de información,
descubrimiento, invención y comunicación de ideas y comprobación de esas
ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación, sin negar, por
supuesto, el valor y el lugar de los conceptos y procedimientos en el
curriculum de Matemática.
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