Reglas de divisibilidad		Alejandro Jenkins V.

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Divisibilidad por 10, 2 y 5

Las reglas de divisibilidad por un entero $n$ que aquí discutimos parten todas de la representación decimal del número $N$ cuya divisibilidad por $n$ deseamos investigar. En otras palabras, todas estas reglas se basan en manipulaciones de los dígitos del dividendo $N$, expresado decimalmente. La regla más sencilla y trasparente es, lógicamente, la de divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10 si y solo si su último digito es 0. La demostración es trivial, pero la formularemos rigurosamente porque ilustra el tipo de razonamiento que utilizaremos más adelante para obtener reglas de divisibilidad más complejas.

En nuestra discusión utilizaremos repetidamente los siguientes resultados sencillos: Si $n$ y $m$ son dos enteros, ambos divisibles por otro entero $k$, entonces $n+m$ es divisible por $k$. Y si $n$ es divisible por $k$, pero $m$ no lo es, entonces $n+m$ no es divisible por $k$. Ambos resultados son muy fáciles de demostrar (lo cual dejamos como ejercicio para el lector interesado) y pueden resumirse así: Supongamos que $l = n+m$ y que $n$ es un entero divisible por $k$. En ese caso $l$ es divisible por $k$ si y solo si $m$ también es divisible por $k$.

De ahora en adelante utilizaremos la notación $\cba$  para denotar el número con la expresión decimal dada por el dígito $a$ en el lugar de las unidades, el dígito $b$ en el lugar de las decenas, etc. Por lo tanto, el valor de $N=\cba$ puede expresarse de la siguiente manera: N =  a + 10b + 100c + 1000d + ...

Demos a la cantidad $N - a = 10b + 100c + 1000d + \ldots$ el nombre $D$. Evidentemente, $D$ siempre será divisible por 10, sin importar los valores de $b, c, d, \ldots$ Como $N = D + a$, concluimos que $N$ es divisible por 10 si y solo si $a$ es divisible por 10. El número $a$ debe estar entre 0 y 9 inclusive, y de esos valores únicamente 0 es divisible por 10, (recordemos que 0 es divisible por cualquier número entero $n \not= 0$, puesto que $0 / n = 0$). Por lo tanto, $N$ es divisible por 10 si y solo si $a = 0$.

Esta demostración puede ser modificada inmediatamente para formular y demostrar la regla de divisibilidad para cualquier divisor del número 10, puesto que si $n$ divide a 10, necesariamente divide a $D$. Por lo tanto $N$ es divisible por 2 (o por 5) si y solo si el último dígito $a$ es divisible por 2 (o por 5). Para el 2, esto implica que $a$ debe ser par. Para el 5, implica que $a$ debe ser 0 o 5.

 

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