Reglas de divisibilidad		Alejandro Jenkins V.

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La lógica de las reglas y su eficiencia

 

El lector acucioso se habrá percatado, por nuestra discusión anterior, que la lógica de las reglas de división es la siguiente: La regla nos indica que formemos cierto número $P$ a partir de una manipulación con los dígitos de $N$ en su expresión decimal $\cba$. Si podemos demostrar que $N = D~+~P$ y que $D$ siempre es divisible por $n$, tendremos que $N$ es divisible por $n$ si y solo si $P$ es divisible por $n$. Y como, para un número $N$ arbitrario, tenemos que $D$ puede corresponder a una suma con cualquier cantidad de términos, la demostración de que $D$ es divisible por $n$ suele depender de que cada uno de los términos en esa suma sea, por sí solo, divisible por $n$ ⁵.

Si $N$ es tan grande que $P$ es un número cuya divisibilidad no nos resulta obvia, podemos aplicar la regla nuevamente para $P$, y repetir este proceso tantas veces como necesitemos para acabar con un número tan pequeño que su divisibilidad sea obvia. Por ejemplo, supongamos que queremos saber si $N =97~859~943$ es divisible por 9. Al aplicar la regla de divisibilidad tenemos que $P = 54$. Si se no hubiera olvidado que $54 = 9 \times 6$, podemos aplicar la regla una segunda vez, lo cual nos da $5+4 = 9$. En dos pasos hemos pasado de un número de 8 dígitos a uno un solo dígito. La regla de divisibilidad por 9 es sumamente eficiente, pues cada aplicación reduce un número $N$ a un número $P$ mucho menor.

La regla de divisibilidad por 10 es aún más eficiente: reduce, en un solo paso, un número $N=\cba$ de cualquier cantidad de dígitos, a un número $P=a$ de un solo dígito. Hoy, en la era en que las computadoras y las calculadores de bolsillo abundan en gran parte del mundo, dividir un entero por otro podría no parecer una tarea muy difícil. Pero esto no debiera cegarnos a la belleza conceptual de la eficiencia con la que las reglas que hemos presentado simplifican el problema de saber si un número es divisible por otro.

Si lo deseamos, podemos cuantificar la eficiencia de las reglas de divisibilidad de la siguiente manera. Si $N$ es un número de $r$ dígitos, en el peor de los casos, ¿cuántos dígitos esperamos que tenga el número $P$? La regla del diez es tan eficiente como puede ser: $N$ puede tener cualquier número de dígitos y $P$ siempre tendrá un solo dígito. El caso de la regla para el 9 es ligeramente más sutil. El tamaño de $P$ depende de los dígitos específicos de $N$. Pero un dígito decimal no puede ser mayor que 9. Esto es, $P$ para un número $N$ de $r$ dígitos es siempre igual o menor que $9r$. Aquellos lectores que conozcan la teoría de los logaritmos sabrán que el número de dígitos en la representación decimal de $9r$ está dado por uno más la parte entera de $\log{9r}$ y que la parte entera de $\log{9r}$ es igual o menor que 1 más la parte entera de $\log{r}$.

Por lo tanto, en el caso de la regla de divisibilidad por 9, el número de dígitos de $P$ es igual o menor que 2 más el logaritmo del número de dígitos de $N$. Un estudioso de la teoría de la computación diría que la regla de divisibilidad por 9 tiene una "eficiencia logarítimica.''

 

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