Introducción

¿Dónde está la sabiduría que perdimos en el conocimiento?
¿Dónde está el conocimiento que perdimos en la información?

Una regla de divisibilidad es un procedimiento (o, si deseamos utilizar el término técnico, un algoritmo¹ que determina si un número entero es divisible por otro, sin tener que llevar a cabo la división correspondiente. Por ejemplo, podemos decir inmediatamente que el número 1 291 896 es divisible por 2 sin conocer el resultado de la división, porque la regla de divisibilidad por 2 establece que todo número es divisible por 2 si y solo si su último dígito (6, en este caso) es par.

Las reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 y 10 son muy conocidas y generalmente se mencionan en los cursos regulares de matemáticas a nivel primario y secundario. La regla de disivibilidad por 11 es menos familiar, pero es tan sencilla y eficiente que en esta nota la incluiremos junto con las reglas más famosas. Los cursos regulares no suelen justificar la validez de estas reglas (excepto, tal vez, en el caso de las reglas de divisibilidad por 2 y por 10). Sin embargo, el estudio de estas reglas ofrece una buena oportunidad para introducir al estudiante interesado al concepto de demostración rigurosa en matemáticas, así como a los fundamentos de la teoría de números (como se denomina al estudio de las propiedades de los números enteros).

En esta nota comenzaremos recordando las reglas de divisibilidad más familiares, para luego demostrar su validez. Esta discusión nos preparará para discutir la lógica que sustenta a las reglas de divisibilidad en general, así como para hacer algunos comentarios sobre la eficiencia computacional de distintas reglas de este tipo. De ahí pasaremos a formular y demostrar dos reglas que probablemente serán novedosas para la mayor parte de los alumnos y profesores de matemáticas a nivel secundario: las de divisibilidad por 7 y por 13. Estas reglas ilustrarán un mecanismo general que nos permitirá construir una regla de divisibilidad por cualquier número mayor que 10 que no sea múltiplo de 2 ni de 5.

El grado de conocimiento necesario para seguir esta discusión no va más allá del que debiera tener un estudiante costarricense que haya completado exitosamente su bachillerato en enseñaza media. La excepción a esta regla es que algunas de las notas al pie de la página sí requieren conocimiento adicional, como por ejemplo familiaridad con el método de inducción matemática como herramienta de demostración. El lector que así lo desee puede obviar estas notas.

Los argumentos y la presentación que aquí se ofrecen son obra del autor. No conocemos ninguna referencia que cubra el tema específico de las reglas de divisibilidad de la manera que lo hace esta nota. Una búsqueda en Internet, sin embargo, ofrece una variedad de páginas con información sobre las reglas de divisibilidad. Una de las más completas e interesantes (la cual hemos consultado durante la redacción de esta nota) es [3] (en inglés).

Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR
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