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Aislando las raíces de una ecuación

 

Cuando se está tratando de aproximar las soluciones de una ecuación $ f(x)=0$ es de mucha utilidad tener alguna idea de su ubicación. Para el caso en el cual $ f(x)$ es un polinomio existen algunos resultados en este sentido ([Childs 1995], [Kostrikin 1980], [Kurosch 1987]), como el siguiente.

Teorema [Cotas para las raíces]
Si $ f(x)$ es un polinomio con coeficientes reales cuyo coeficiente principal es positivo y suponga que efectuamos la división sintética de $ f(x)$ entre $ x-c$, entonces

  1. Si $ c>0$, y todos los números del tercer renglón del proceso de división son positivos o cero, entonces $ c$ es una cota superior de las soluciones reales de la ecuación $ f(x)=0$.

  2. Si $ c < 0$, y si los números del tercer renglón del proceso de división son alternadamente positivos y negativos (donde se considerará que un 0 es positivo o negativo), entonces $ c$ es una cota inferior de las soluciones de la ecuación $ f(x)=0$.

Recuerde que un número real $ M$ es una cota superior de las soluciones de una ecuación, si ninguna solución es mayor que $ M$; un número real $ m$ es una cota inferior de las soluciones de una ecuación, si ninguna solución es menor que $ m$.

Ejemplo
Una cota superior para las soluciones de la ecuación $ x^3+4x^2-10=0$ es $ M=2$, pues, los números del tercer renglón de la división sintética son todos positivos, como se muestra en la figura 1.

 
Figura 1: División sintética por

 

Una cota inferior para las soluciones de la ecuación $ x^3+4x^2-10=0$ es $ m=-5$, pues, los números del tercer rengón de la división sintética alternan en signo, como se muestra en la figura 2.

 
Figura 2: División sintética por $ x+5$

 

No es nuestro objetivo entrar en detalle a la separación de raíces de polinomios, puede el lector interesado consultar este tema con más profundidad en [Childs 1995], [Kostrikin 1980], [Kurosch 1987] o en las notas de los colegas [Astorga 2003], [Borbón 2003].

Uno de los resultados más útil en la búsqueda de raíces y a la vez más simple, es el conocido teorema del valor intermedio. Este teorema establece que si $ w$ es cualquier número entre $ f(a)$ y $ f(b)$, entonces existe un número $ c$ entre $ a$ y $ b$ tal que $ f(c)=w$, siempre y cuando $ f$ sea continua en el intervalo $ [a,b]$.

Teorema (Del valor intermedio)
Si $ f:[a,b] \rightarrow$   $ \mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$$ $ es una función continua en $ [a,b]$ y $ f(a) \neq f(b)$, entonces $ f$ toma todos los valores comprendidos entre $ f(a)$ y $ f(b)$.

Intuitivamente, una función es continua en el intervalo $ [a,b]$ si podemos trazar su gráfica sin levantar el lápiz. La idea básica que está detrás de la continuidad es que un cambio pequeño en $ x$ produce un cambio pequeño en $ f(x)$.

Como corolario de este teorema tenemos que si $ f(a)$ y $ f(b)$ tienen signos opuestos, entonces existe un número $ c$ entre $ a$ y $ b$ tal que $ f(c)=0$, es decir, que $ c$ es una solución de la ecuación $ f(x)=0$. Este hecho tan simple da origen a uno de los métodos más conocidos para la aproximación de soluciones: búsqueda binaria o método de la bisección.

 

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