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Método de Newton

 

Este es uno de los métodos más eficientes para aproximar las soluciones de la ecuación $f(x)=0$. El método de Newton empieza con una aproximación inicial $x_0$, la siguiente aproximación $x_1$ corresponde a la intersección con el eje $x$ de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $(x_0,f(x_0))$. La aproximación $x_2$ corresponde a la intersección con el eje $x$ de la tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(x_1, f(x_1))$, y así sucesivamente. Este proceso genera una sucesión $\langle x_n \rangle$, definida por

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$

para $n \geq 0$.

El algoritmo del método se muestra en la figura 5

Figura 5: Método de Newton

 

La implementación de este método, en Excel, es realmente simple. Para esto considere la mismo ecuación de antes: $x^3+4x^2-10=0$ y con aproximación inicial tomenos $x_0=5$.

 

1. En la celda A4 escribimos muestra aproximación inicial, en este caso, 5.
2. En la celda A5 escribimos la fórmula que calculará las siguientes aproximaciones

$$= A4 - (potencia(A4;3)$$

$$+ 4*potencia(A4;2) - 10)/(3*potencia(A4;2)+8*A4)$$

 

3. Por último, para generar las siguientes aproximaciones arrastramos la celda A5

 

El resultado de este proceso se muestra en la figura 6. Observe la gráfica de la función $f(x)=x^3+4x^2-10$, las rectas tangentes a $f(x)$ en $x=4$ y $x=5$ respectivamente y las dos aproximaciones generadas por estas aproximaciones.

 

Figura 6: Método de la Newton aplicado a $x^3+4x^2-10=0$.

Cuando el método de Newton converge se obtienen los resultados con relativa rapidez, ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2, y el error es proporcional al cuadrado del error anterior, es decir, si el error $\epsilon_{i}=10^{-n}$, el siguiente error $\epsilon_{i+1}$ es proporcional a $10^{-2n}$ y así sucesivamente. Con lo que podríamos decir que en cada iteración aproximadamente se duplica el número de dígitos correctos.

 

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