Resultados de Construciones con regla y compás.

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Resultados de Construcciones con regla y compás.

``Diremos que un número real no negativo es una longitud constructible si, mediante un número finito de aplicaciones de la regla y el compás y los puntos de intersección obtenidos entre rectas y círculos así construídos, se puede construir un segmento de recta de longitud '' (Herstein,1988)

Algunas de las construcciones que se pueden realizar son las siguientes:

Cualquier longitud que se construya sobre una recta se puede transportar a otra recta mediante el compás y por tanto es constructible en la segunda recta.
Podemos trazar una recta paralela a una recta dada que pase por un punto dado.
Se puede construir una longitud para cualquier entero no negativo .

De estos resultados se logra construir cualquier longitud racional .

Para extender la noción de constructibilidad a números negativos enunciaremos la siguiente definiciòn:

Un número real es un número constructible si $\vert x\vert$ es una longitud constructible

Así llegamos a nuestro primer resultado interesante. Los resultados enunciados nos permiten demostrar que el conjunto de números reales constructibles $\cal C$ junto con las operaciones usuales de ${\mbox{\conj R}}$ forman un subcampo del campo de los números reales ${\mbox{\conj R}}$ . Este subcampo contiene al conjunto de los números racionales ${\mbox{\conj Q}}$ pero esta inclusión es propia pues ya sabemos que $\sqrt 2$ es fácilmente constructible con regla y compás.

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