Imposibilidad de algunas construcciones

| José Rosales O | Pedro Díaz N.  | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

 

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Ejemplos.

El último criterio enunciado nos permite resolver como un corolario los problemas que tuvieron desvelados a los matemáticos por más de dos mil años. En efecto:

1. No se puede cuadrar un círculo: Para construir un cuadrado de área igual a un circulo de radio 1 , usando regla y compás, se debe poder construir el número $\sqrt \pi$. Como se vio en los ejemplos anteriores, Lindeman demostró que $\pi$ es tracendente sobre ${\mbox{\conj Q}}$. Luego, $\pi$ no puede ser la raíz de ningún polinomio con coeficientes en ${\mbox{\conj Q}}$. Esto dice que no existe un polinomio minimal para $\pi$ sobre ${\mbox{\conj Q}}$. En consecuencia, $\pi$ no puede ser constructible y como vimos que los números constructibles forman un subcampo de los números reales, se tiene que $\sqrt \pi$ tampoco puede ser constructible.
2. No se puede duplicar el Cubo: Razonando por contradicción se tiene que si se pudiese duplicar un cubo de lado 1, se necesitaría construir con regla y compás un cubo cuya arista midiera $b$ y cuyo volúmen fuera 2. Dado que el volumen del cubo sería $b^3$, se debe poder construir un numero $b$ tal que $b^3=2$. Esto dice que $b$ debe ser raíz del polinomio $f(x)= x^3-2$. Como este polinomio es mónico e irreducible sobre $Q$ (por el teorema de raíces racionales), se concluye que es el polinomio minimal de $b$ en ${\mbox{\conj Q}}$, pero esto nos produce una contradicción ya que el grado de $f(x)$ es 3 y no es una potencia de 2 contradiciendo el criterio de constructibilidad mencionado.
3. No se puede trisecar un ángulo: De nuevo razonamos por contradicción. Si se pudiera trisecar un ángulo cualquiera, el ángulo de $60^\circ$ debe de poderse trisecar. Esto dice que se podría construir un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ tal que $\alpha=\angle BAC= 20^\circ$ y $\overline {AC}=1$.

    

   

   Como $\overline {AB}=\cos 20^\circ$, se tendría que $b=\cos 20^\circ$ es tambien constructible. Por otro lado, la identidad trigonométrica del ángulo triple $\cos (3\alpha)= 4\cos^3(\alpha)-3\cos(\alpha)$ para el caso en que $b=\cos 20^\circ$ indica que
   
   $${1\over 2}=\cos(3\cdot 20^\circ)= \cos(60^\circ)= 4\cos(20^\circ)-3\cos(20^\circ)$$
   
   
   de donde $4b^3 -3b={1\over2}\Longrightarrow 8b^3-6b-1=0$. Haciendo el cambio de variable $c=2b$, se llega a la ecuación $c^3-3c-1=0$. Como los números constructibles son un campo, si $b$ es constructible entonces $c$ también lo es. Pero si $p(x)=x^3-3x-1$ entonces $p(c)=0$ y como $p(x)$ es mónico e irreducible sobre ${\mbox{\conj Q}}$, se tiene que $p(x)$ es el polinomio minimal de $c$ sobre ${\mbox{\conj Q}}$. Como el grado de $p(x)$ es 3 se tiene que $c=2b$ no es constructible y esto es una contradicción. Por tanto hemos encontrado un contraejemplo y en consecuencia, no se pueden trisecar ángulos.

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