Elementos de la Teoría de Galois.

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Elementos de la Teoría de Galois.

Evariste Galois, un matemático francés del siglo XVIII desarrolló la teoría que lleva su nombre. Cuenta la historia que la noche antes de morir escribió una carta en la que se desarrolla esta teoría. Con esta teoría se logran fundir de una manera brillante el álgebra y la geometría.

Primero recordaremos algunas definiciones importantes:

Sea un campo. Un polinomio con coeficientes en F en la incógnita se llama reducible en si es producto de otros dos polinomios con coeficientes en F de grado menor. Si un polinimio no es reducible se dice irreducible .

El polinomio es irreducible o no factorizable sobre ${\mbox{\conj Q}}$ en tanto que el polinomio es reducible en ${\mbox{\conj Q}}$ ya que

$\begin{displaymath} x^4+x^2+1= (x^2-x+1)(x^2+x+1) \end{displaymath}$

Sea un campo y sea un subcampo de . Decimos que es una extensión de .

Si es un campo y un subcampo de y si $\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_n$ son elementos de , llamaremos a $F(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_n)$ el cuerpo obtenido con la adjunción de los elementos $\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_n$ de .

El campo $F(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_n)$ es la mínima extensión de que contiene a $\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_n$ .

Un caso partricular de esta situación se tiene al lograr extensiones del conjunto de números racionales adjuntando un numero irracional a ${\mbox{\conj Q}}$ .

Considere el conjunto ${\mbox{\conj Q}}(\sqrt 2)$ definido mediante la adjunción del número $\sqrt 2$ a ${\mbox{\conj Q}}$

$\begin{displaymath}{\mbox{\conj Q}}(\sqrt 2)=\{ a+b\sqrt 2: a,b \in {\mbox{\conj Q}}\}\end{displaymath}$

Se puede probar que ${\mbox{\conj Q}}(\sqrt 2)$ con las operaciones usuales de ${\mbox{\conj Q}}$ es también un campo. A su vez, ${\mbox{\conj Q}}(\sqrt 2,\sqrt 3)=\{ a+b\sqrt2 +c\sqrt3 : a,b,c\in {\mbox{\conj Q}}\}$ es también un subcampo del conjunto de los números reales obtenido de la adjunción de $\sqrt 2$ y $\sqrt3$ que es una extensión de ${\mbox{\conj Q}}(\sqrt 2)$ . El lector podrá comprobar fácilmente que ambas extensiones junto con las operaciones usuales de suma y producto, forman subcampos del conjunto de los números reales ${\mbox{\conj R}}$ .

El diagrama anterior representa la extensión de campos mencionada.

Una vez establecido el concepto de extensión de campos debemos recordar la definición de numero algebraico y número trascendente.

Sea un campo y una extensión. Sea $\alpha\in K$ . Si existen polinomios con coeficientes en que tienen a $\alpha$ como raíz, $\alpha$ se llama algebraico sobre . En caso contrario $\alpha$ se llama trascendente sobre .

Algunos ejemplos de esta definición son los siguientes:

$\alpha= 2^{1\over 3}$ es algebraico sobre pues satisface la ecuación .
En 1873 Hermite demostró que $e=\displaystyle {\lim_{n\to \infty} (1+{1\over n})^n}$ es trascendente sobre . La demostración de este resultado se puede encontrar en [4] página 72.
En 1881 Lindeman demostró que el número $\pi$ es trascendente sobre . La demostración se puede encontrar en [4] página 74.
En 1929 Guelfand probó que $2^{\sqrt 2}$ es tracendente sobre , un problema propuesto por Hilbert. En general , se probó que si $\alpha \in {\mbox{\conj Q}}$ y $\beta \not \in {\mbox{\conj Q}}$ entonces $\alpha^\beta$ es trascendental sobre ${\mbox{\conj Q}}$ .

Si $\alpha$ es algebraico sobre entonces existe un único polinomio mónico (con coeficiente principal igual a 1), irreducible sobre que tiene a $\alpha$ como raíz y tal que cualquier otro polinomio que tenga a $\alpha$ como raíz, será divisible por . Este polinomio se llama el polinomio minimal de $\alpha$ en $F[\alpha]$ o sobre .

Se tiene ya el lenguaje matemático necesario para enunciar un criterio de constructibilidad. Se omite su demostración pero se remite al lector interesado a [3] para encontrar una justificación exhaustiva.

Para que un número real $\alpha$ sea constructible es necesario que su polinomio mínimo sobre ${\mbox{\conj Q}}$ tenga grado igual a una potencia de 2.

Este resultado es increiblemente fuerte pues reduce el problema de comprobar la constructibilidad de un numero $\alpha$ a la verificación del grado de un polinomio. Se logra así un punto de unión entre el álgebra y la geometría. Además sorprende el hecho de ver como una rama de la matemática tan abstarcta como la teoría de Galois se liga con otra totalmente gráfica e intuitiva como es la geometría.

El lector puede darse cuenta del porque otros autores han omitido referirse a la justificación teórica de la imposibilildad de las construcciones mencionadas. Si se toma en cuenta que se han omitido los detalles de las demostraciones de todas las afirmaciones enunciadas, puede ver que el tema no es sencillo de exponer.

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