Resolución de sucesiones definidas por una Relación de Recurrencia Homogénea Lineal

Ejemplo 1

Def inamos la sucesión recursiva $S_{n+3}=5S_{n+2}% -3S_{n+1}-9S_{n}$ sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=1,S_{1}% =0,S_{2}=-1$ , formando el sistema de ecuaciones:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+3}=5S_{n+2}-3S_{n+1}-9S... ... S_{n+2}=S_{n+2}\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

se tiene que la matriz asociada al sistema es $A=\left( \begin{array}[c]{ccc}% 5 & -3 & -9\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$ y las condiciones iniciales están dadas por $X_{0}=\left( \begin{array}[c]{c}% -1\\ 0\\ 1 \end{array} \right) .$ El polinomio característico de la matriz

es:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{3}-5\lambda^{2}+3\lambda+9 \end{displaymath}$

cuyas raíces son $\lambda_{1}=3$ de multiplicidad algebraica dos y $\lambda_{2}=-1$ de multiplicidad algebraica uno. Por $\left( 6a\right)$ tenemos que $S_{n}$ corresponde a:

$\begin{displaymath} S_{n}=\frac{3^{n}}{2}-n3^{n-1}+\frac{1}{2}\left( -1\right) ^{n}\mbox{ }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \end{displaymath}$

Ejemplo 2

Def inamos la sucesión recursiva $S_{n+3}=9S_{n+2}% -27S_{n+1}+27S_{n}$ sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=1,S_{1}% =-1,S_{2}=2$ , formando el sistema de ecuaciones:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+3}=9S_{n+2}-27S_{n+1}+2... ... S_{n+2}=S_{n+2}\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

se tiene que la matriz asociada al sistema es $A=\left( \begin{array}[c]{ccc}% 9 & -27 & 27\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$ y las condiciones iniciales están dadas por $X_{0}=\left( \begin{array}[c]{c}% 2\\ -1\\ 1 \end{array} \right) .$ El polinomio característico de la matriz

es:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{3}-9\lambda^{2}+27\lambda-27 \end{displaymath}$

cuya única raíz es $\lambda_{1}=3$ . Por $\left( 6b\right)$ tenemos que $S_{n}$ corresponde a:

$\begin{displaymath} S_{n}=3^{n}-\frac{41}{2}n3^{n-2}+\frac{17}{2}n^{2}3^{n-2}\mbox{ }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \end{displaymath}$