Resolución de sucesiones definidas por una Relación de Recurrencia Homogénea Lineal

Resolución de la Relación de Recurrencia

Dada la sucesión:

$\begin{displaymath} S_{n+3}=\beta_{2}S_{n+2}+\beta_{1}S_{n+1}+\beta_{0}S_{n} \end{displaymath}$

sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=c_{0}$ , $S_{1}=c_{1}$ y $S_{2}% =c_{2},$ el polinomio característico def inido por la matriz:

$\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}[c]{lll}% \beta_{2} & \beta_{1} & \beta_{0}\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$

corresponde a:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{3}-\beta_{2}\lambda^{2}-\beta_{1}% \lambda-\beta_{0} \end{displaymath}$

La ecuación característica tiene dos posibilidades, en un primer caso que posea dos raíces distintas; una de mulplicidad algebraica dos y otra de multiplicidad uno, en un segundo caso que posea una única raíz de multiplicidad algebraica tres, abordemos a continuación el estudio de ambos.

caso

$\lambda_{1}$ de multiplicidad algebraica dos y $\lambda_{2}$ de multiplicidad algebraica uno

Sabemos que los subespacios propios asociados a $\lambda_{1}$ y $\lambda_{2}$ respectivamente, vienen dados por:

$\begin{displaymath} E_{\lambda_{1}}=Gen\left( \left\{ \left( \lambda_{1}^{2},\... ...\left( \lambda_{2}^{2},\lambda_{2},1\right) \right\} \right) \end{displaymath}$

por ende la primera columna de $P^{-1}$ está formada por el vector $\left( \lambda_{1}^{2},\lambda_{1},1\right)$ , la segunda por un vector generalísimo asociado a $\lambda_{1}$ y la tercera por el vector $\left( \lambda_{2}^{2},\lambda_{2},1\right) .$ Calculemos el vector generalísimo, para ello resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{l}% \left( A-\lambda_{1}I_{3}\right) \le... ...a_{1}\\ y-\lambda_{1}z=1 \end{array} \right. \end{array} \end{displaymath}$

dado que el determinante principal $\triangle=\left\vert \begin{array}[c]{lll}% \beta_{2}-\lambda_{1} & \beta_{1}... ...\\ 1 & -\lambda_{1} & 0\\ 0 & 1 & \lambda_{1}% \end{array} \right\vert =0$ por ser $\lambda_{1}$ raíz del polinomio característico, el sistema tiene inf inidad de soluciones donde:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% x=\lambda_{1}+\lambda_{1}y\\ y=1+\lambda_{1}z \end{array} \right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l}% x=2\lambda_{1}+\lambda_{1}^{2}z\\ y=1+\lambda_{1}z \end{array} \right. \end{displaymath}$

se concluye que el vector $\left( 2\lambda_{1},1,0\right)$ es un vector generalísimo asociado a $\lambda_{1}$ y en consecuencia:

$\begin{displaymath} P^{-1}=\left( \begin{array}[c]{lll} \lambda_{1}^{2} & 2\l... ...( \lambda_{1}-\lambda_{2}\right) ^{2}}% \end{array} \right) \end{displaymath}$

Luego:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{l} A=P^{-1}\cdot J\cdot P\mbox{ con }J=\... ...}\left( 4\right) \mbox{ y el teorema 4 con }r=2 \end{array} \end{displaymath}$

Consideremos unicamente la última f ila de este producto, entonces:

$\begin{displaymath} A^{n}=\left( \begin{array}[c]{cc} \vdots & \vdots\\ -\f... ...\lambda_{1}-\lambda _{2}\right) ^{2}}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \left. \begin{array}[c]{c} \vdots\\ -\frac{n\lambda_{1}... ...( \lambda_{1}-\lambda_{2}\right) ^{2}}% \end{array} \right) \end{displaymath}$

y f inalmente:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{l} S_{n+2}\\ S_{n+1}\\ S_{n}%... ...\\ c_{0}% \end{array} \right) \mbox{ por }\left( 2\right) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow S_{n}=-\lambda_{1}^{n}\frac{c_{2}-2c_{1}\lambda... ...\left( \lambda_{2}-\lambda_{1}\right) ^{2}} \hspace{2cm}{6a}% \end{displaymath}$

caso

$\lambda_{1}$ de multiplicidad algebraica tres

Para este caso es necesario encontrar dos vectores propios generalísimos asociados a $\lambda_{1}$ a partir del vector propio $X_{1}=\left( \lambda_{1}^{2},\lambda_{1},1\right)$ , uno de estos vectores ya fue encontrado al abordar el caso 1, éste corresponde a $X_{2}=\left( 2\lambda_{1},1,0\right) ,$ hallemos un segundo vector propio generalísimo $X_{3}=\left( \begin{array}[c]{l}% x\\ y\\ z \end{array} \right)$ , luego:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{l}% \left( A-\lambda_{1}I_{3}\right) \le... ...da_{1}y=1+\lambda_{1}^{2}z \end{array} \right. \end{array} \end{displaymath}$

se concluye que el vector $X_{3}=\left( 1,0,0\right)$ y en consecuencia:

$\begin{displaymath} P^{-1}=\left( \begin{array}[c]{lll}% \lambda_{1}^{2} & 2\... ... 1 & -2\lambda_{1} & \lambda_{1}^{2}% \end{array} \right) \end{displaymath}$

Luego:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{l}% A=P^{-1}\cdot J\cdot P\mbox{ con }J=... ... \right) \cdot P\mbox{ por el teorema 4 con }r=3 \end{array} \end{displaymath}$

Consideremos unicamente la última f ila de este producto, entonces:

$\begin{displaymath} A^{n}=\left( \begin{array}[c]{ccc}% \vdots & \vdots & \vd... ...{n}n+\frac {1}{2}\lambda_{1}^{n}n^{2}% \end{array} \right) \end{displaymath}$

donde f inalmente:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{l}% S_{n+2}\\ S_{n+1}\\ S_{n}... ...\\ c_{0}% \end{array} \right) \mbox{ por }\left( 2\right) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow S_{n}=c_{0}\lambda_{1}^{n}-\frac{n\lambda_{1}^{... ...1}\lambda_{1}+c_{0}\lambda_{1}^{2}\right) \hspace{2cm}{6b}% \end{displaymath}$