Resolución de sucesiones definidas por una Relación de Recurrencia Homogénea Lineal

Resolución de la Relación de Recurrencia

Dada la sucesión:

$\begin{displaymath} S_{n+2}=\beta_{1}S_{n+1}+\beta_{0}S_{n} \end{displaymath}$

sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=c_{0}$ y $S_{1}=c_{1},$ el polinomio característico def i-
nido por la matriz $A=\left( \begin{array}[c]{ll}% \beta_{1} & \beta_{0}\\ 1 & 0 \end{array} \right)$ corresponde a:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{2}-\beta_{1}\lambda-\beta_{0} \end{displaymath}$

Supongamos que de la ecuación característica se obtienen dos raíces iguales a $\lambda_{1}.$ Bajo este supuesto la matriz no es diagonalizable y en consecuencia debemos encontrar la matriz de transformación de semejanza , correspondiente en la forma canónica de Jordan, con la finalidad de calcular la potencia ésima de

Por un resultado de la primera parte de este artículo [8] sabemos que:

$\begin{displaymath} E_{\lambda_{1}}=Gen\left( \left\{ \left( \lambda_{1},1\right) \right\} \right) \end{displaymath}$

por ende la primera columna de la matriz $P^{-1},$ está formada por el vector $\left( \lambda_{1},1\right) .$ La segunda columna de $P^{-1}$ se obtiene al hallar un vector propio generalísimo asociado a $\lambda_{1}$ , para ello resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{l}% \left( A-\lambda_{1}I_{2}\right) \le... ...a_{1}\\ x-\lambda_{1}y=1 \end{array} \right. \end{array} \end{displaymath}$

dado que el determinante principal $\triangle=\left\vert \begin{array}[c]{ll}% \left( \beta_{1}-\lambda_{1}\right) & \beta_{0}\\ 1 & -\lambda_{1}% \end{array} \right\vert =0$ por ser $\lambda_{1}$ raíz del polinomio característico, el sistema tiene inf inidad de soluciones, que quedan determinadas al resolver cualquiera de ambas ecuaciones, al tomar la segunda de ellas se obtiene que:

$\begin{displaymath} x=1+\lambda_{1}y \end{displaymath}$

se concluye que el vector $\left( 1,0\right)$ es un vector generalísimo asociado a $\lambda_{1}$ y en consecuencia:

$\begin{displaymath} P^{-1}=\left( \begin{array}[c]{ll}% \lambda_{1} & 1\\ 1... ...y}[c]{cc}% 0 & 1\\ 1 & -\lambda_{1}% \end{array} \right) \end{displaymath}$

Luego:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{l}% A=P^{-1}\cdot J\cdot P\mbox{ con }J=... ...-1\right) \lambda_{1}^{n}% \end{array} \right) \end{array} \end{displaymath}$

y f inalmente:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{l}% S_{n+1}\\ S_{n}% \end{arra... ...\\ c_{0}% \end{array} \right) \mbox{ por }\left( 2\right) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow S_{n}=c_{0}\lambda_{1}^{n}+\left( c_{1}-c_{0}\l... ... }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \hspace{2cm}{5}% \end{displaymath}$