Resolución de sucesiones definidas por una Relación de Recurrencia Homogénea Lineal

En la primera parte de este trabajo se desarrolló un método para resolver relaciones de recurrencia homogéneas lineales con coef icientes constantes, utilizando valores y vectores propios bajo ciertas condiciones particulares.

Una relación de recurrencia de este tipo es aquella de la forma:

$\begin{displaymath} S_{n+k}=\beta_{k-1}S_{n+\left( k-1\right) }+\beta_{k-2}S_{n+\left( k-2\right) }+\cdots+\beta_{1}S_{n+1}+\beta_{0}S_{n} \end{displaymath}$

siendo los $\beta_{j}$ números reales f ijos $\forall j,$ $j\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} ,$ $0\leq j\leq k-1,$ que junto con las

condiciones iniciales:

$\begin{displaymath} S_{j}=c_{j},c_{j}\in I\!\!R, \forall j, j\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} , 0\leq j\leq k-1\quad \end{displaymath}$

determinan de manera única los elementos de una sucesión $\left( S_{n}\right) _{n\in I\!\!N}$ .

Esta relación de recurrencia se puede expresar mediante un sistema de ecuaciones lineales como sigue a continuación:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+k}=\beta_{k-1}S_{n+\lef... ...ight) }\\ \vdots\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

que matricialmente corresponde a:

$\begin{displaymath} X_{n+1}=\mathbf{A}X_{n} \hspace{2cm}{1}% \end{displaymath}$

siendo,

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{l}% \mathbf{A}=\left( \begin{array}[c]{... ...ight) \mbox{ un vector en }I\!\!R^{k}. \end{array} \mbox{ } \end{displaymath}$

A partir de la ecuación $\left( 1\right)$ es posible inferir² que:

$\begin{displaymath} X_{n}=A^{n}X_{0}\mbox{ }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \hspace{2cm}{2}% \end{displaymath}$

de donde si se determina la potencia

ésima de

, la relación de recurrencia queda resuelta al igualar la f ila

ésima de ambas matrices $k\times1$ en la expresión anterior.

En la primera parte del artículo, se abordó un método de trabajo basado en suponer que la matriz era diagonalizable, esto con la f inalidad de poder calcular $A^{n}$ $\forall n,n\in I\!\!N\cup \left\{ 0\right\}$ de forma directa. Efectivamente se logró demostrar que es diagonalizable sí y solo sí todos sus valores propios son de multiplicidad algebraica igual a uno y bajo este supuesto se ideó un algoritmo que condujo a una relación general para resolver una relación de recurrencia homogénea lineal con coef icientes constantes de orden .

Aunque los resultados que se obtuvieron fueron bastante generales, me pareció necesario completar este trabajo, tratando el caso en el que la matriz tuviera valores propios con multiplicidad algebraica mayor estricta que uno, desde este punto de vista, concentré mis esfuerzos para dejar el problema completamente resuelto y encontré en la teoría de matrices de Jordan el fundamento teórico necesario con la f inalidad de lograr dicho objetivo.