Resolución de sucesiones definidas por una Relación de Recurrencia Homogénea Lineal

Ejemplo 1

Definamos la sucesión recursiva $S_{n+4}=4S_{n+3}% -6S_{n+2}+4S_{n+1}-S_{n}$ sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}% =-3,S_{1}=1,S_{2}=-1$ , $S_{3}=4,$ formando el sistema de ecuaciones:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+4}=4S_{n+3}-6S_{n+2}+4S... ... S_{n+2}=S_{n+2}\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

se tiene que la matriz asociada al sistema es $A=\left( \begin{array}[c]{cccc}% 4 & -6 & 4 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$ y las condiciones iniciales están dadas por $X_{0}=\left( \begin{array}[c]{c}% 4\\ -1\\ 1\\ -3 \end{array} \right) .$ El polinomio característico de la matriz

es:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{4}-4\lambda^{3}+6\lambda^{2}-4\lambda+1 \end{displaymath}$

cuya única raíz es $\lambda_{1}=1$ . Para este problema la forma canónica de Jordan

corresponde a la matriz:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{c}% J=\left( \begin{array}[c]{cccc}% 1... ...array} \right) \mbox{ por el teorema 4 con }r=4 \end{array} \end{displaymath}$

Por otra parte:

$\begin{displaymath} H_{4}^{1}=\left( \begin{array}[c]{cccc}% {1^{3}}{1} & {1... ...d{array} \right) \mbox{ por }\left( 7\right) \mbox{ con }i=4 \end{displaymath}$

y en consecuencia:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{l}% P^{-1}=\left( \begin{array}[c]{llll... ... 0 & 1\\ -1 & 4 & -6 & 4 \end{array} \right) \end{array} \end{displaymath}$

Finalmente:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{l}% S_{n+3}\\ S_{n+2}\\ S_{n+... ...}% \end{array} \right) =P^{-1}\cdot J^{n}\cdot P\cdot X_{0} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow S_{n}=\frac{13}{6}n^{3}-\frac{19}{2}n^{2}+\frac{34}{3}n-3\mbox{ }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \end{displaymath}$

Ejemplo 2

Def inamos la sucesión recursiva $S_{n+4}=-2S_{n+3}% +11S_{n+2}+12S_{n+1}-36S_{n}$ sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=1,S_{1}=-1,S_{2}=-2$ , $S_{3}=3,$ formando el sistema de ecuaciones:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+4}=-2S_{n+3}+11S_{n+2}+... ... S_{n+2}=S_{n+2}\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

se tiene que la matriz asociada al sistema es $A=\left( \begin{array}[c]{cccc}% -2 & 11 & 12 & -36\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$ y las condiciones iniciales están dadas por $X_{0}=\left( \begin{array}[c]{c}% 3\\ -2\\ -1\\ 1 \end{array} \right) .$ El polinomio característico de la matriz

es:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{4}+2\lambda^{3}-11\lambda^{2}-12\lambda+36 \end{displaymath}$

cuyas raíces son $\lambda_{1}=1$ de multiplicidad algebraica dos y $\lambda_{2}=-3$ de multiplicidad algebraica también igual a dos. Para este problema la forma canónica de Jordan

corresponde a la matriz:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{c}% J=\left( \begin{array}[c]{cccc}% 2... ...ma 4 }$\\ $\mbox{con }r=2$% \end{tabular} }% \end{array} \end{displaymath}$

Por otra parte:

$\begin{displaymath} H_{4}^{1}=\left( \begin{array}[c]{llll}% {2^{3}}{1} & {2... ...& 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \mbox{ por }\left( 7\right) \end{displaymath}$

Como las multiplicidades algebraicas de ambos valores propios son iguales a dos, se requieren unicamente las dos primeras f ilas de las matrices $H_{4}^{1}$ y $H_{4}^{2}$ para formar las columnas de $P^{-1}$ , luego:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{c}% P^{-1}=\left( \begin{array}[c]{cccc... ...ac{8}{25} & \frac{12}{25}% \end{array} \right) \end{array} \end{displaymath}$

Finalmente:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{l}% S_{n+3}\\ S_{n+2}\\ S_{n+... ...}% \end{array} \right) =P^{-1}\cdot J^{n}\cdot P\cdot X_{0} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow S_{n}=\frac{9}{25}2^{n}-\frac{4}{5}n2^{n-1}+\f... ...ht) ^{n-1}\mbox{ }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \end{displaymath}$

Ejemplo 3

Def inamos la sucesión recursiva $S_{n+5}=-S_{n+4}% +38S_{n+3}-18S_{n+2}-405S_{n+1}+675S_{n}$ sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=1,S_{1}=-4,S_{2}=S_{3}=2$ , $S_{4}=0,$ formando el sistema de ecuaciones:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+5}=-S_{n+4}+38S_{n+3}-1... ... S_{n+2}=S_{n+2}\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

se tiene que la matriz asociada al sistema es $A=\left( \begin{array}[c]{ccccc}% -1 & 38 & -18 & -405 & 675\\ 1 & 0 & 0 & ... ... & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$ y las condiciones iniciales están dadas por $X_{0}=\left( \begin{array}[c]{c}% 0\\ 2\\ 2\\ -4\\ 1 \end{array} \right) .$ El polinomio característico de la matriz

es:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{5}+\lambda^{4}-38\lambda^{3}+18\lambda ^{2}+405\lambda-675 \end{displaymath}$

cuyas raíces son $\lambda_{1}=3$ de multiplicidad algebraica tres y $\lambda_{2}=-5$ de multiplicidad algebraica dos. Para este problema la forma canónica de Jordan

corresponde a la matriz:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{c}% J=\left( \begin{array}[c]{ccccc}% ... ...\mbox{con }r=3\mbox{ y }r=2$% \end{tabular} }% \end{array} \end{displaymath}$

Por otra parte:

$\begin{displaymath} H_{5}^{1}=\left( \begin{array}[c]{lllll}% {3^{4}}{1} & {... ...& 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \mbox{ por }\left( 7\right) \end{displaymath}$

Como la multiplicidad algebraica de $\lambda_{1}=3$ es tres se requieren las tres primeras f ilas de $H_{5}^{1}$ para completar las tres primeras columnas de $P^{-1}$ , las dos restantes se obtienen al considerar las dos primeras f ilas de la matriz $H_{5}^{2}$ , luego:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{c}% P^{-1}=\left( \begin{array}[c]{cccc... ...{128} & \frac {135}{512}% \end{array} \right) \end{array} \end{displaymath}$

Finalmente:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{l}% S_{n+4}\\ S_{n+3}\\ S_{n+... ...}% \end{array} \right) =P^{-1}\cdot J^{n}\cdot P\cdot X_{0} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow S_{n}=\frac{1055}{4096}3^{n}-\frac{577}{256}n3... ...ht) ^{n-1}\mbox{ }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \end{displaymath}$

Ejemplo 4

Def inamos la sucesión recursiva $S_{n+6}=-2S_{n+5}% +S_{n+4}-2S_{n+3}-6S_{n+2}-8S_{n}$ sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=2,S_{1}=-2,S_{2}=S_{3}=1$ , $S_{4}=S_{5}=0,$ formando el sistema de ecuaciones:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+6}=-2S_{n+5}+S_{n+4}-2S... ... S_{n+2}=S_{n+2}\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

se tiene que la matriz asociada al sistema es $A=\left( \begin{array}[c]{cccccc}% -2 & 1 & -2 & -6 & 0 & -8\\ 1 & 0 & 0 & ... ... & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$ y las condiciones iniciales están dadas por $X_{0}=\left( \begin{array}[c]{c}% 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ -2\\ 2 \end{array} \right) .$ El polinomio característico de la matriz

es:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{6}+2\lambda^{5}-\lambda^{4}+2\lambda ^{3}+6\lambda^{2}+8 \end{displaymath}$

cuyas raíces son $\lambda_{1}=-2$ de multiplicidad algebraica dos, $\lambda_{2}=i,\lambda_{3}=-i,\lambda_{4}=1+i$ y $\lambda_{5}=1-i$ . Para este problema la forma canónica de Jordan

corresponde a la matriz:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{c}% J=\left( \begin{array}[c]{cccccc}% ... ...orema 4\\ $\mbox{con }r=2$% \end{tabular} }% \end{array} \end{displaymath}$

Por otra parte:

$\begin{displaymath} H_{6}^{1}=\left( \begin{array}[c]{llllll}% {\left( -2\ri... ... 1 \end{array} \right) \mbox{ }\ \mbox{por }\left( 7\right) \end{displaymath}$

Como la multiplicidad algebraica de $\lambda_{1}=-2$ es dos se requieren las dos primeras f ilas de $H_{6}^{1}$ para completar las dos primeras columnas de $P^{-1}$ , las restantes se obtienen al considerar vectores propios asociados a los restantes valores propios, luego:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{c}% P^{-1}=\left( \begin{array}[c]{cccc... ...ac{9}{125}+\frac{13}{125}i \end{array} \right) \end{array} \end{displaymath}$

Finalmente:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{l}% S_{n+4}\\ S_{n+3}\\ S_{n+... ...}% \end{array} \right) =P^{-1}\cdot J^{n}\cdot P\cdot X_{0} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow \begin{array}[c]{l}% S_{n}=\frac{3}{5}2^{n}e^{... ...ox{ }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \end{array} \end{displaymath}$

Ejemplo 5

Def inamos la sucesión recursiva $S_{n+7}=-14S_{n+6}% -84S_{n+5}-280S_{n+4}-560S_{n+3}-672S_{n+2}-448S_{n+1}-128S_{n}$ sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}=S_{5}=S_{6}=1,$ formando el sistema de ecuaciones:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+7}=-14S_{n+6}-84S_{n+5}... ... S_{n+2}=S_{n+2}\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

se tiene que la matriz asociada al sistema es:

$\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}[c]{ccccccc}% -14 & -84 & -280 & -5... ...1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$

y las condiciones iniciales están dadas por:

$\begin{displaymath} X_{0}=\left( \begin{array}[c]{l}% 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}$

El polinomio característico de la matriz

es:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{7}+14\lambda^{6}+84\lambda... ... +280\lambda^{4}+560\lambda^{3}+672\lambda^{2}+448\lambda+128 \end{displaymath}$

cuya única raíz es $\lambda_{1}=-2$ . Para este problema la forma canónica de Jordan

corresponde a la matriz:

$\begin{displaymath} J=\left( \begin{array}[c]{ccccccc}% -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & ... ...& -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow J^{n}=\left( \begin{array}[c]{llll}% \left( -... ...& 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \left. \begin{array}[c]{lll}% \frac{n\left( n-1\right) \l... ...n-1}\\ 0 & 0 & \left( -2\right) ^{n}% \end{array} \right) \end{displaymath}$

Por otra parte:

$\begin{displaymath} H_{7}^{1}=\left( \begin{array}[c]{ccccccc}% {\left( -2\r... ... 1 \end{array} \right) \mbox{ }\ \mbox{por }\left( 7\right) \end{displaymath}$

y en consecuencia:

$\begin{displaymath}% \begin{array}[c]{l}% P^{-1}=\left( \begin{array}[c]{cccc... ... 60 & 160 & 240 & 192 & 64 \end{array} \right) \end{array} \end{displaymath}$

Finalmente:

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{l}% S_{n+6}\\ S_{n+5}\\ S_{n+... ...}% \end{array} \right) =P^{-1}\cdot J^{n}\cdot P\cdot X_{0} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow \begin{array}[c]{l}% S_{n}=\left( -2\right) ^{... ...all n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \end{array} \mbox{ } \end{displaymath}$