Resolución de sucesiones definidas por una Relación de Recurrencia Homogénea Lineal

Ejemplo 1

Definamos la sucesión recursiva $S_{n+2}=2S_{n+1}-S_{n}$ sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=1,S_{1}=3$ , formando el sistema de ecuaciones:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+2}=2S_{n+1}-S_{n}\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

se tiene que la matriz asociada al sistema es $A=\left( \begin{array}[c]{cc}% 2 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right)$ y las condiciones iniciales están dadas por $X_{0}=\left( \begin{array}[c]{l}% 3\\ 1 \end{array} \right) .$ El polinomio característico de la matriz

es:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{2}-2\lambda+1 \end{displaymath}$

cuya única raíz es $\lambda_{1}=1.$ Por $\left( 5\right)$ tenemos que $S_{n}$ corresponde a:

$\begin{displaymath} S_{n}=\left( 1\right) ^{n}+\left( 3-1\right) n\left( 1\righ... ...^{n-1}=1+2n\mbox{ }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \end{displaymath}$

Ejemplo 2

Def inamos la sucesión recursiva $S_{n+2}=-4S_{n+1}-4S_{n}$ sujeta a las condiciones iniciales $S_{0}=-1,S_{1}=-3$ , formando el sistema de ecuaciones:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l}% S_{n+2}=-4S_{n+1}-4S_{n}\\ S_{n+1}=S_{n+1}% \end{array} \right. \end{displaymath}$

se tiene que la matriz asociada al sistema es $A=\left( \begin{array}[c]{cc}% -4 & -4\\ 1 & 0 \end{array} \right)$ y las condiciones iniciales están dadas por $X_{0}=\left( \begin{array}[c]{l}% -3\\ -1 \end{array} \right) .$ El polinomio característico de la matriz

es:

$\begin{displaymath} P\left( \lambda\right) =\lambda^{2}+4\lambda+4 \end{displaymath}$

cuya única raíz es $\lambda_{1}=-2.$ Por $\left( 5\right)$ tenemos que $S_{n}$ corresponde a:

$\begin{displaymath} S_{n}=-1\cdot\left( -2\right) ^{n}+\left( -3+\left( -2\righ... ...}-1\right) \mbox{ }\forall n,n\in I\!\!N\cup\left\{ 0\right\} \end{displaymath}$