El teorema de Napoleón		Mario Dalcín

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Cuarta demostración

Demostraremos que la composición de tres rotaciones con centros no alineados, del mismo sentido y donde la suma de los ángulos de rotación sea $\,360\,$ es la identidad.

Para ello consideremos la composición de las rotaciones de centros en los vértices de un triángulo, ángulos el doble de cada ángulo respectivo del triángulo y del mismo sentido las tres.

Para indicar una rotación usaremos la siguiente notación: $\,R_{O,\alpha,horario}\,$, donde $\,O\,$ indica el sentido horario o rotación, $\,\alpha\,$ la medida del ángulo de rotación y a continuación se indicara el sentido horario o anti-horario. Usaremos además que toda rotación es la composición de dos simetrías axiales de ejes secantes en el centro de rotación y que el ángulo que forman entre ellas es la mitad del ángulo de rotación.

$R_{A,2\alpha,horario}\,\,\, O \,\,\,R_{B,2\beta,horario}\,\,\, O\,\,\, R_{C,2\gamma,horario}$	$=$	$S_{AC}\,\,\, O\,\,\, S_{AB} O S_{BC}\,\,\, O\,\,\, R_{C,2\gamma,horario}$
	$=$	$S_{AC} \,\,\,O\,\,\, S_{BC} \,\,\,O\,\,\, R_{C,2\gamma,horario}$
	$=$	$R_{C,2\gamma,antihorario} \,\,\,O\,\,\, R_{C,2\gamma,horario}$
	$=$	$\mbox{Identidad}$

En nuestra construcción

$\,R_{M,120^\circ,horario}\,\,\,O\,\,\,R_{N,120,horario}\,\,\O\,\,\,R_{P,120^\circ,horario}= \mbox{Identidad}\,$

y como las isometrías con la composición de funciones forman grupo, podemos escribir

$\,R_{M,120,horario}\,\,\,O\,\,\,R_{N,120^\circ,horario}=R_{P,120^\circ,antihorario}\,$

$\,S_{r}\,\,\,O\,\,\,S_{MN}\,\,\,O\,\,\,S_{MN}\,\,\,O\,\,\,S_{S}=R_{P,120^\circ,antihorario}\,$

donde el ángulo de (r) y MN es $\,60º\,$ y

el ángulo de NM y (s) es $60^\circ$.

Si $\,(r)\cap(s)={J}\,$:

$\,R_{J,120^\circ,antihorario}=R_{P,120^\circ,antihorario}\,$

de donde debe ser J=P,

por lo que $\,\triangle MNP\,$ es equilátero.

(Demostración tomada de Ledergerber-Ruoff,pp.128-129)

 

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