Tercera demostración

Aplicando el teorema del coseno en $\,\bigtriangleup ABC\,$ :

$\,a^2=b^2+c^2-2bc \cos(\alpha)\,$

Siendo $\,h\,$ la altura de $\,\bigtriangleup ABC\,$ : correspondiente al vértice $\,C\,$ :

$\,\sin(\alpha)= \displaystyle {\frac{h}{b}}\Longrightarrow b\cdot \sin(\alpha)\,$

por lo que

área $\,\bigtriangleup ABC = \triangledown = \displaystyle {\frac{c\cdot h}{2}}= \dis... ...rightarrow \sin(\alpha)= \displaystyle {\frac{2\cdot\triangledown}{b\cdot c}}\,$ (2)

En $\,\bigtriangleup MNP\,$ : $\,m\overline{AN}=\displaystyle {\frac{b\sqrt{3}}{3}}\,$

$\,m\overline{AP}=\displaystyle {\frac{c\sqrt{3}}{3}}\,$

Aplicando el teorema del coseno en $\,\bigtriangleup NAP\,$ :

$\overline{NP}^2= \overline{AN}^2+\overline{AP}^2-2\cdot \cos(\alpha + 60^\circ)$		$\left(\displaystyle {\frac{b\sqrt{3}}{3}} \right)^2+\left(\displaystyle {\frac{... ...{3}}{3}} \cdot \displaystyle {\frac{b\sqrt{3}}{3}}\cdot \cos(\alpha + 60^\circ)$

		$\displaystyle {\frac{b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha+ 60^\circ)}{3}}\,\,\,(3)$

$\,\cos(\alpha + 60^\circ)= \cos(\alpha)\cdot \cos(60^\circ)- \sin(\alpha)\cdot \sin(60^\circ)\,$

y usando las igualdades obtenidas en $\,(1)\,$ y $\,(2)\,$ podemos escribir:

$\,\cos(\alpha + 60^\circ)= \displaystyle {\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot \frac{1}{2}- \frac{2\triangledown}{bc}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\,$ (4)

sustituyendo $\,(4)\,$ en $\,(3)\,$ y simplificando llegamos a:

$\,\overline{NP}^2=\displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2+4\triangledown\sqrt{3}}{6}}\,$

Procediendo de la misma forma podemos afirmar:

$\cos(\alpha)$		$\displaystyle {\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}$

$\sin(\beta)$		$\displaystyle {\frac{2\triangledown}{ac}}$

Aplicando el teorema del coseno en $\,\bigtriangleup MBP\,$ :

$\overline{MP}^2$		$\overline{BM}^2+ \overline{BP}^2-2 \cdot \overline{BM} \cdot \overline{BP} \cdot \cos(\beta + 60^\circ)$

		$\left( \displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{3}}\right)^2 + \left(\displaystyle {\fra... ...{3}}{3}} \cdot \displaystyle {\frac{c\sqrt{3}}{3}} \cdot \cos(\beta + 60^\circ)$

		$\displaystyle {\frac{a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta + 60^\circ)}{3}}$

que luego al sustituir $\,\cos(\beta + 60^\circ)\,$ y simplificar queda:

$\,\overline{MP}^2= \displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2+4\triangledown \sqrt{3}}{6}}\,$

De idéntica forma podemos obtener

$\,\overline{MN}^2= \displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2+4\triangledown \sqrt{3}}{6}}\,$

lo que nos permite afirmar que el triángulo $\,\bigtriangleup MNP\,$ es equilátero.

Otras tres demostraciones alternativas se pueden encontrar al final.

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