Gráficos 3D

  

Figueroa, G.  Mora, W..

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Parametrización de una curva en el espacio

La forma paramétrica de una curva en 2D o 3D o incluso de una superficie, es fundamental a la hora de trazar su gráfica, como veremos.

 

Definición

Si $\;x=x(t)\;$, $\;y=y(t)\;$ y $\;z=z(t)$ son funciones continuas en un intervalo $I$, entonces el conjunto de tripletes ordenados $C=\{ \left( x(t),y(t),z(t)\right) \, \vert \, t \, \in \, I)\}$ se denomina curva parametrizada en el espacio tridimensional. Las funciones $\;x=x(t)\;$, $\;y=y(t)\;$ y $\;z=z(t)$ se denominan ecuaciones paramétricas de $C$ donde $t$ es el parámetro.

 

 

Figura 9.


 

Algunas parametrizaciones útiles, en dos dimensiones, son

  1. Segmento de recta que une $A$ con $B$: $(x,y,z)= A\,+\,t(B-A), \; \; \; t \, \in \, [0,1]$

  2. Círculo, en el plano $XY$, de centro $(h,k)$ y radio $r$: $(h+r\cos(t), k+r\,\mbox{sen}(t),0),\; \; t \, \in \, [0, 2\pi]$

  3. Elipse $\displaystyle{\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1}$: $(h+a\cos(t), k+b\mbox{sen}(t),0),\; \; t \, \in \, [0, 2\pi]$

  4. Hipérbola $\displaystyle{\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1}$: $(h+a \sec(t), k+b\, \mbox{tan}(t),0), \; \; t \, \in \, [0, 2\pi]$

  5. Para las curvas, en los planos $XY$, $XZ$ y $YZ$, con ecuación funcional, se puede tomar la variable independiente como parámetro.



EJEMPLO

Grafiquemos el círculo $(x-2)^2+(y-3)^2=4$ sobre el plano $z=1$.

$\bullet \; \; $
Aunque podríamos usar ParametricPlot3D[] para graficar el círculo, vamos a usar una lista de líneas para dibujar esta curva.

Las líneas unen los puntos   z(t) = $(2 + r*\mbox{cos}\, t,\; 3 + r*\mbox{sen} \,t,\; 1), \; \; t \in [0, 2\pi]$. Los puntos son igualmente espaciados. Usaremos 30 puntos, por lo que el paso podría ser dt$= 2\pi/30$.


Para hacer la lista de puntos usamos el comando Table[]

$\bullet \; \; $
Para dibujar el plano $z=1$,  es conveniente dibujar  con ParametricPlot3D[] para que la circunferencia no sea parcialmente ocultada por un solo gran polígono. El paquete CurvesGraphics, que veremos más adelante, ofrece una buena solución al problema de ocultamiento de curvas sobre superficies.

 

Figura 10.
[Ver en 3D- versión 1: círculo sobre un solo gran polígono ]
[Ver en 3D- versión 2: con polígono construido con ParametricPlot3D]
 

 

El código es

 

r = 2;                                      (*radio*)
nptos = 30;                                 (*numero de puntos*)
dt = (2Pi -0)/nptos;                        (*paso*)
z[t_] = {2 + r*Cos[t], 3 + r*Sin[t], 1};    (*parametrizacion*)
circulo =Line[Table[z[tetha], {tetha, 0, 2Pi, dt}]];

Q = {5, 0, 1}; P = {0, 0, 1}; R = {0, 5, 1};
         (* plano P + t*(Q - P) + s*(R - P)= {5 t, 5 s, 1 *)
planoz1 = ParametricPlot3D[{5 t, 5 s, 1, EdgeForm[]},
                           {t, 0, 1}, {s, 0, 1},
                           DisplayFunction -> Identity];

g = Graphics3D[{
                 Ejes3D[-1, 6, -1, 6, -1, 3],
                 GrayLevel[0.68],
                 AbsoluteThickness[2],  (*Grosor de la linea*)
                 circulo,
                 AbsolutePointSize[4],
                 RGBColor[1, 0, 0],
                 Point[{2, 3, 1}]
               }, Boxed -> False,
                   ViewPoint -> {2.426, 2.190, 0.878}];

graf = Show[{g, planoz1}, DisplayFunction -> \$DisplayFunction];
JavaView[graf];


NOTA: en el ejemplo anterior, se puede implementar el plano como un paralelogramo,

Q = 5, 0, 1; P = 0,0, 1; R = 0, 5, 1; S = (Q - P) + (R - P) + P;
planoz1 =Polygon[Q, P, R, S, Q];

En este caso, esto no es conveniente; la visibilidad del círculo se vería afectada como se ve en la versión 1.


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