Implementación de superficies usando DrawGraphics y CurvesGraphics

En las secciones anteriores se vieron métodos generales para implementar superficies de cualquier tipo, usando mayormente primitivas. DrawGraphics y CurvesGraphics ofrecen nuevas herramientas para los casos generales y también para casos particulares.

DrawGraphics es un paradigma alternativo para producir gráficos en Mathematica. Las rutinas básicas de DrawGraphics producen los gráficos de Mathematica, sin desplegarlos, y extraen las primitivas del objeto producido por Mathematica para poder combinar diferentes elementos gráficos en un solo contexto.

DrawGraphics y CurvesGraphics son paquetes que extraen las primitivas de los gráficos y los combinan para producir gráficos con un código más natural. CurvesGraphics funciona usando DrawGraphics y extiende los comandos para curvas orientadas.

Instalación

Se Podría copiar la carpeta DrawGraphics   y el archivo CurvesGraphics.m  en el directorio

C:\...\Wolfram Research\Mathematica\5.0\AddOns\Applications

Para llamar a ambos paquetes se ejecuta el código

Needs["DrawGraphics`DrawingMaster`"];

Needs["CurvesGraphics`"];

Comandos básicos

Los nombres de los comandos en DrawGraphics, son similares a los de Mathematica, solo se agrega 'Draw'. Por ejemplo

Las rutinas 'Draw' tienen la misma forma y aceptan las mismas opciones que las rutinas 'Plot' excepto las opciones AspectRatio, Frame, PlotLabel, etc. que no producen ningún efecto.

Algunos comandos de Mathematica no están presentes en los paquetes, pero se pueden incorporar como se verá más adelante. También hay comandos nuevos en estos paquetes.

A través de los ejemplos que siguen, vamos a mostrar algunas de las calidades de este nuevo paradigma, aplicándolo a los ejemplos anteriores y a otros ejemplos nuevos

La documentación de DrawGraphics viene incluida en la carpeta DrawGraphics, ([12]) . Un manual actualizado  de CurvesGraphics se puede obtener en ([12])

Ejemplos

1. Ejes 3D
   

   Podemos hacer un comando que dibuje un sistema de ejes 3D usando el comando ArrowLine3D de DrawGraphics. También podemos usar Arrow3D para aplicarlo a curvas. La sintaxis es

    

   Arrow3D[base,cabeza, opciones] ArrowLine3D[ puntos,opciones...]

   
   

   ArrowLine3D recibe una lista puntos = {pt1, pt2,...,ptk}

   La opción 'HeadSegments3D' especifica el número de segmentos triángulares usados para dibujar el cono de la flecha. El default es 10. Una flecha plana se logra con 2.

    

   flechas1 = Draw3DItems[{Arrow3D[{0, 0, 0}, {0, 1, 1}],                            RGBColor[0, 0, 1],                            Arrow3D[{0, 0, 0}, {1, 0, 1}],                            RGBColor[0.5, 0, 1],                            AbsoluteThickness[2],                            SurfaceColor[RGBColor[0, 1, 0]],                            Arrow3D[{0, 0, 0}, {1, 1, 0}]                            },                            ViewPoint -> {2.209, 2.115, 1.449},                            Boxed -> False,                            PlotRange -> All];

   
   

   
   

    Figura 22.
    
    

   SetOptions[Arrow3D, HeadSegments3D -> 2];  flechas2 = Draw3DItems[{Arrow3D[{0, 0, 0}, {0, 1, 1}],                          RGBColor[0, 0, 1],                          Arrow3D[{0, 0, 0}, {1, 0, 1}]                         },                         ViewPoint -> {2.209, 2.115, 1.449},                         Boxed -> False,                         PlotRange -> All];

    

   

   Figura 23. 
   

    
2. Ejes 3D

   Usamos un código similar al visto más arriba

    

   Ejes[xmin_, xmax_, ymin_, ymax_, zmin_, zmax_] := { (*Flechas*) SurfaceColor[RGBColor[0, 0, 1]], ArrowLine3D[{{xmin, 0, 0}, {0, 0, 0}, {xmax, 0, 0}}], ArrowLine3D[{{0, ymin, 0}, {0, 0, 0}, {0, ymax, 0}}], ArrowLine3D[{{0, 0, zmin}, {0, 0, 0}, {0, 0, zmax}}], GrayLevel[0], Text["X", {xmax, -0.3, 0}], Text["Y", {-0.3, ymax, 0.1}], Text["Z", {0, -0.2, zmax}], (* numeros *) Table[Text[i, {i, -0.3, 0}], {i, 1, xmax - 2, 1}], Table[Text[i, {-0.3, i, 0}], {i, 1, ymax - 2, 1}], Table[Text[i, {-0.3, -0.3, i}], {i, 1, zmax - 2, 1}], RGBColor[0, 0, 0.627451], (* rayitas *) Table[Line[{{-0.1, i, 0}, {0, i, 0}}], {i, 1, ymax - 1, 1}], Table[Line[{{i, -0.1, 0}, {i, 0, 0}}], {i, 1, xmax - 1, 1}], Table[Line[{{0, -0.1, i}, {0, 0, i}}], {i, 1, zmax - 1, 1}] }; SetOptions[Arrow3D, HeadSegments3D -> 10]; elGraf = Draw3DItems[{ GrayLevel[0.501961], Ejes[-0.5, 3, -0.5, 3, -0.5, 5]}, ViewPoint -> {3.221, 0.246, 1.008 }, Boxed -> False, PlotRange -> All];

   
   

   Figura 24.  

3. Usando JavaView
   

   Procedemos como se indicó más arriba.
   

   Primero ejecutamos el código
   

                   Needs["JLink`"];
                   InstallJava[];
                   << JavaView`JLink`
                   viewer = InstallJavaView[];
   

   y luego ya podemos levantar la ventana de JavaView
   

   JavaView[elGraf];

   
   

4. 'RealTime3D'
   

   'RealTime3D' nos permite interactuar con el gráfico directamente en el 'notebook'. Se ejecuta el código (para usar 'RealTime3D' se debió eliminar StyleForm[] de Ejes[...])
   

                   << RealTime3D`
                   Show[elGraf];
                   << Default3D`
   

5. Draw3D

   Veamos un ejemplo de cómo usar  Draw3DItems  y  Draw3D

    

   plot1 = Draw3DItems[{                             Ejes2[-0.5, 3, -0.5, 3, -0.5, 9],                             Draw3D[x^2 + y^2, {x, 0, 3}, {y, 0, 3},                                    PlotPoints -> 20] //UseWireFrame,                             Draw3D[y + 6, {x, -1, 3}, {y, -1, 3}]                             },                             Boxed -> False,                             ViewPoint -> {1.324, -2.001, 2.386},                             ImageSize -> 100];

    

   

   Figura 25.  
   

    

6. ParametricDraw3D

   Veamos un ejemplo de cómo usar  ParametricDraw3D

    

   plot2 = Draw3DItems[{EdgeForm[],                               Ejes2[-0.5, 3, -0.5, 3, -0.5, 9],                               SurfaceColor[RGBColor[0, 1, 0]],                               ParametricDraw3D[{r*Cos[t], r*Sin[t], r^2},                                                 {r, 0, 3}, {t,0, Pi/2}]                               },                               ViewPoint -> {0.636, -2.991, 1.449},                               Boxed -> False                             ];

    

   

   Figura 26. 
   

    

7. LinearClipPlot3D
   

   LinearClipPlot3D es un comando de 'CurvesGraphics' que dibuja el recorte de una superficies usando planos vía desigualdades lineales

   LinearClipPlot3D[3DSurface, LinearInequality, variables]

   Por ejemplo, observemos todos los gráficos que produce el siguiente código

    

   paraboloid = ParametricPlot3D[r{Cos[t], Sin[t], r}, {r, 0, 3}, {t, 0, 2*Pi}]; GInt1 = LinearClipPlot3D[paraboloid, z <= y + x + 1 , x, y, z]; (*Como GInt1 es Graphics3D[{primitivas}] entonces GInt1[[1]] = {primitivas} *) intersecciones = Graphics3D[{Join[{EdgeForm[]}, GInt1[[1]]]}]; Show[intersecciones]

   

   Figura 27.
   

    

8. Sólido usando LinearClipPlot3D

   
   Vamos a usar LinearClipPlot3D para ayudarnos a implementar el sólido limitado por y los planos y , en el primer octante. Observe que este comando solo funciona con desigualdades lineales.

    

   paraboloid2 =ParametricPlot3D[r{Cos[t], Sin[t], r}, {r, 0, 3}, {t, 0, Pi/2}, PlotPoints -> 40]; ejes = Graphics3D[Ejes2[-0.5, 3, -0.5, 3, -0.5, 9]]; GInt1 = LinearClipPlot3D[paraboloid2, 6 <= z <= y + 6 , x, y, z]; (*GInt1 es Graphics3D[{primitivas}] entonces GInt1[[1]] = {primitivas} *) intersecciones = Graphics3D[{Join[{EdgeForm[]}, GInt1[[1]]]}]; (*---------------- plano 1 ---------------------------------*) z2[y_] = {Sqrt[6 + y - y^2], y, 6 + y}; z1[y_] = {0, y, 6 + y}; dx = 0.1; Rplano1 = Table[Polygon[{z1[i], z1[i + dx], z2[i + dx], z2[i], z1[i] }], {i, 0, 2.7, 0.1}]; dx = 0.01; Rplano2 = Table[Polygon[{z1[i], z1[i + dx], z2[i + dx], z2[i], z1[i] }], {i, 2.7, 3 - 0.01, 0.01}]; (*---------------- plano 2 ----------------------------------*) dt = (Pi/2)/30; z6[te_] = {Sqrt[6]Cos[te], Sqrt[6]*Sin[te], 6 }; Rplanoz6 = Table[ Polygon[{ z6[i], z6[i + dt], {0, 0, 6}, z6[i] }], {i, 0, Pi/2 - dt, dt}]; planos = Graphics3D[{ {EdgeForm[], SurfaceColor[RGBColor[0, 1, 0]], Rplano1, Rplano2, SurfaceColor[RGBColor[1, 1, 0.501961]], Rplanoz6} }]; plot4 = Show[{ ejes, planos, intersecciones }, ViewPoint -> {2.894, -0.892, 1.510}, Boxed -> False, PlotRange -> All]

   Figura 28.
   [Ver en 3D con JavaView]

9. InequalityDraw3D

   Esta rutina es muy conveniente para dibujar sectores de superficies y sólidos. Vamos  a  ver algunos ejemplos de su uso.

   1. Sector del plano    al ser cortado  por la superficie  con  x ≤ 2, en el primer octante.

      La idea es definir la región de la proyección del plano, en XY, con una desigualdad. InequalityDraw3D 
      toma esta región, definida por una desigualdad, y la proyecta sobre el plano que también debe ser definido
      por otra desigualdad. El código generado por InequalityDraw3D incluye los polígonos de la proyección 
      y el sector del plano. Para eliminar la proyección del gráfico, extraemos  los polígonos del sector del plano 

      Figura 29.
      
      	
      	
      	
      	

      En el siguiente código se muestra el procedimiento

      (*región de proyección en XY:  y >= 2 + x^2, {x,0, 2}, {y, 2, 6} *)    eqns3 = y >= 2 + x^2  ∧  y ≤ 6 - z;   (regionP = InequalityDraw3D[ eqns3, {x,0, 2}, {y, 2, 6}, {z, 0, 4},                                PlotPoints -> 10];)   elGraf = Draw3DItems[            {             GrayLevel[0.501961],             Ejes[-0.5, 3, -0.5, 7, -0.5, 5],             regionP[[1,1]] (*sin los polígonos de la proyección*)            },            ViewPoint -> {1.125, 2.903, 1.325},            Boxed -> False,            PlotRange -> All                      ];

   2. Sólido limitado por los planos   ,     y la superficie , en el primer octante.

      En este caso si nos interesa la proyección pues es parte del sólido. En la siguiente implementación 
      se omite la pared en YZ para  efectos de visualizar el interior.

      Figura 30.
      
      	
      	

      En el siguiente código se nuestra el procedimiento

      eqns2 = z ≤ 4 - x^2 ∧ y ≤ 6 - z; (region=InequalityDraw3D[eqns2, {x, 0, 2}, {y, 2, 6}, {z, 0, 4}, PlotPoints -> 10];) (*agregamos EdgeForm[] para ocultar la malla*) region = Join[{EdgeForm[]}, region];   (*la pared en y=2 va de z=0 hasta z=4 - x^2 *) zt[x_, vz_] = If[vz <= 4 - x^2, vz, 4 - x^2]; elGraf2 = Draw3DItems[           {            GrayLevel[0.501961],            Ejes[-0.5, 3, -0.5, 7, -0.5, 5],            region,            ParametricDraw3D[{x, 2, zt[x, vz]}, {x, 0, 2}, {vz, 0, 4}]           },           ViewPoint -> {-2.815, 1.118, 1.510},           AmbientLight -> RGBColor[0, 0, 0.627451],           Boxed -> False,           PlotRange -> All                    ];

   3. Sólido que corresponde a la región interior de la esfera   y al interior del cilindro
       , en el primer octante. 

      En este caso la proyeción sobre XY es la proyección del cilindro

      Figura 31.
      [Ver en 3D con JavaView]

      En el siguiente código se muestra el procedimiento

      (*Curva intersección : Cint[x_] = {x, ±Sqrt[1 - (x - 1)^2], Sqrt[4 - 2 x] *) (* cilindro = {x, ±Sqrt[1 - (x - 1)^2], cz[x, z]} *) cz[x_, tz_] = If[tz ≤ Sqrt[4 - 2 x], tz, Sqrt[4 - 2 x]]; cil1[x_, tz_] = {x, Sqrt[1 - (x - 1)^2], cz[x, tz]}; cil2[x_, tz_] = {x, -Sqrt[1 - (x - 1)^2], cz[x, tz]}; Cint1[x_] = {x, Sqrt[1 - (x - 1)^2], Sqrt[4 - 2 x]}; Cint2[x_] = {x, -Sqrt[1 - (x - 1)^2], Sqrt[4 - 2 x]}; eqns1 = (x - 1)^2 + y^2 ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4; regionEsfera = InequalityDraw3D[ eqns1, {x, 0, 2}, {y, -1, 1}, {z, 0, 2},                                  PlotPoints -> 30]; elGraf = Draw3DItems[          {           GrayLevel[0.501961],           Ejes[-0.5, 4, -0.5, 3, -0.5, 3],           regionEsfera,                    (* cilindro, de z=0 hasta la curva de intersección*)           SurfaceColor[RGBColor[0.501961, 0, 1]],           ParametricDraw3D[cil1[x, z], {x, 0, 2}, {z, 0, 2}],           ParametricDraw3D[cil2[x, z], {x, 0, 2}, {z, 0, 2}],           AbsoluteThickness[1.5],           RGBColor[1, 0.501961, 0],           ParametricDraw3D[Cint1[t], {t, 0, 2}],           ParametricDraw3D[Cint2[t], {t, 0, 2}]           },           ViewPoint -> {3.221, 0.246, 1.008},           Boxed -> False,           AmbientLight -> RGBColor[0, 0, 1],           PlotRange -> All                  ];

       

   4.  De nuevo el Sólido limitado por el paraboloide el plano , en  el primer octante. Compare con el sólido en la sección anterior

      

      Figura 32.

      Para la implementación, de nuevo, proyectamos sobre XY. El código es como sigue

   eqns4 = x^2 + (y - 1/2)^2 ≤ 25/4 ∧ z ≤ x^2 + y^2 ∧ z ≤ 6 + y ; regionParaboloide=InequalityDraw3D[eqns4, {x, 0, Sqrt[6]}, {y, 0, 3}, {z, 0, 9},                                    PlotPoints -> 20]; eqns5 = x^2 + (y - 1/2)^2 ≤ 25/4 ∧ z ≤ 6 + y ; (regionPlano = InequalityDraw3D[ eqns5, {x, 0, Sqrt[6]}, {y, 0, 3}, {z, 0, 9},                                   PlotPoints -> 10];) elGraf = Draw3DItems[          {           GrayLevel[0.501961],           Ejes[-0.5, 3, -0.5, 4, -0.5, 9],           regionParaboloide[[1, 1]],           regionPlano[[1, 1]]          },          ViewPoint -> {2.962, -1.337, 0.943},          Boxed -> False,          PlotRange -> All          ];

    

   5.  Disco  sobre el plano .

   

   Figura 33.

   El código es como sigue

   eqns6 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 ≤ 4 ∧ z <= 1 ; regionC = InequalityDraw3D[ eqns6, {x, 0, 4}, {y, 1, 5}, {z, 0, 1},                             PlotPoints -> 35]; regionC = Join[{EdgeForm[]}, regionC[[1,1]]]; elGraf = Draw3DItems[          {           GrayLevel[0.501961],           Ejes[-0.5, 5, -0.5, 6, -0.5, 2],           SurfaceColor[RGBColor[0, 0.501961, 1]],           regionC,           AbsoluteThickness[1],           RGBColor[1, 0.501961, 0.25098],           ParametricDraw3D[{2 + 2*Cos[t], 3 + 2*Sin[t], 1}, {t, 0, 2Pi}],           AbsolutePointSize[4],           Point[{2, 3, 1}]           },           ViewPoint -> {2.354, -1.062, 2.186},           Boxed -> False,           PlotRange -> All           ];

   
   

    

    
10. PlotCurveOnSurface3D: curvas sobre una supeficie

    En Mathematica las curvas sobre objetos gráficos no se ven, en general, muy bien. Esto se resuelve en CurvesGraphics con PlotCurveOnSurface3D.
    

    En el siguiente ejemplo se dibuja una curva sobre una superficie. Se habilita la orientación a la curva con la opción 'Oriented -> True'

     

    plot5 = PlotCurveOnSurface3D[                     {{4Cos[u]Cos[v], 3Sin[u]Cos[v], 2Sin[v]},                                 {u, 0,2Pi}, {v, -Pi/2, Pi/2},                                 PlotPoints -> {51, 41}},                     {{t*Cos[30t] - Pi/2, t*Sin[30t] + Pi/6},                      {t, 0, 1}, Oriented -> True,                       PlotPoints -> 100},                     Ticks -> None,                     Boxed -> False,                     Axes -> False];         ejes = Graphics3D[Ejes2[-5, 6, -5, 6, -0.5, 4]];         Show[{ejes, plot5},               ViewPoint -> {2.021, -2.077, 1.747},               Boxed -> False,               PlotRange -> All]

     

    
    

    Figura 29.
    [Ver en 3D con JavaView]