Lic. Elsie Hernández S.

    1  2  3  4  5  6  7 8 9 10 11 12 13 14

 

 

 

Método de sustitución

Anteriormente hemos resuelto integrales como las siguientes:

$\displaystyle {\int x\; \sqrt[3]{4-x^{2}}\;dx}$ Como $d(4-x^{2}) = -2x\;dx$ entonces multiplicando y dividiendo por -2 se obtiene que:

$\displaystyle {=\frac{-1}{2}\cdot\frac{(4-x^{2})^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C}$

$\displaystyle {=\frac{-3}{8} \sqrt[3]{(4-x^{2})^{4}} + C}$

Sin embargo, una integral como $\displaystyle \int x\sqrt{x+2}\;dx$ no puede calcularse por el procedimiento anterior ya que $d(x+2) = dx \neq x\;dx.$ Se necesita por tanto un procedimiento que nos permita calcular este y similares tipos de integrales. Para ello veamos el teorema siguiente:


  Teorema
  Si x = g(u) es una función derivable que posee una función inversa $u = g^{-1}(x)$ también derivable, entonces, en cualquier intervalo donde $g'(x)\neq0$ se tiene que:

$\displaystyle {\int f[g(u)]\;g'(u)du = H(u) + C \Rightarrow \int f(x)dx = H[g^{-1}(x)] + C}$

 

Prueba: Utilizando la regla de la cadena se tiene que:

$\displaystyle {D_x H(u) = D_x H[g^{-1}(x)] = D_u H(u) \cdot D_x[g^{-1}(x)]}$

$\displaystyle {=D_u H(u)\cdot\frac{1}{g'(u)}}$

(Recuerde que $D_y x = \frac{1}{D_x y},$ o sea, la derivada de la función inversa es igual a uno sobre la derivada de la función original).

Como $D_u H(u) = f[g(u)]g'(u)$ entonces

$\displaystyle {D_x H(g^{-1}(x)) = f[g(u)] g'(u)\cdot \frac{1}{g'(u)} = f[g(u)] = f(x)}$

Con esto se ha demostrado que $H[g^{-1}(x)]$ es una derivada inversa de f(x), y que por tanto, bajo condiciones apropiadas es posible llevar a cabo el proceso de sustitución.

Resolvamos ahora $\int x \sqrt{x+2}\;dx$

Sea $u = x+2$, $du = dx$ luego $x = u-2$, sustituyendo:

$\displaystyle {\int x \sqrt{x+2}\;dx = \int (u-2)\sqrt{u}\;du = \int (u^{\frac{3}{2}} - 2\;u^{\frac{1}{2}})\;du}$

 

 

$\displaystyle {=\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} -

$\displaystyle {=\frac{2}{5}\;(x+2)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}\;(x+2)^{\frac{3}{2}} + C}$

 

 

Otros ejemplos

  1. $\displaystyle {\int x^{2}\;\sqrt[3]{x+4}\;dx}$

    sea $u^{3}= x+4,\;3u^{2}du = dx,\;x=u^{3} - 4$

    Sustituyendo

          $\displaystyle {\int x^{2}\;\sqrt[3]{x+4}\;dx = \int (u^{3}-4)^{2}\; \sqrt[3]{u^{3}}\;3u^{2}\;du}$

$\displaystyle {=\int(u^{6}-8u^{3}+16)u\;3u^{2}\;du = 3\int (u^{6}-8u^{3}+16)\;u^{3}\;du}$

 

$\displaystyle {=3 \int(u^{9}-8u^{6}+16u^{3})du}$

 


$\displaystyle {=3 \left[ \frac{u^{10}}{10} - 8\;\frac{u^{7}}{7} + 16\;\frac{u^{4}}{4}\right] + C}$como $u = \sqrt[3]{x+4}$

$\displaystyle {=\frac{3}{10}\;(\sqrt[3]{x+4})^{10} -

 

Note que se escogió la variable u con el exponente 3, $(u^{3})$, para que al sustituir se obtuviera una raíz cúbica exacta.

    2.  $\displaystyle {\int \frac{x}{\sqrt{3x+4}}\;dx}$ 

         sea $u^{2}= 3x+4$, luego: $2udu = 3\;dx$, $\displaystyle {\frac{2}{3}u\;du = dx}$, además $\displaystyle {x=\frac{u^{2} - 4}{3}}$

         Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{\sqrt{3x+4}} = \int \frac{\frac{u^{2}-4}{3}\cdot \frac{2}{3}u}{\sqrt{u^{2}}}\;du = \frac{2}{9}\int \frac{u(u^{2}-4)}{u}\;du }$

 

 

$\displaystyle {=\frac{2}{9}\int (u^{2}-4)\;du = \frac{2}{9}\left[\frac{u^{3}}{3} - 4u\right] + C}$

$\displaystyle {=\frac{2}{27}\;u^{3} - \frac{8}{3}u + C}$ como $u = \sqrt{3x+4}$

$\displaystyle {=\frac{2}{27}\left[\sqrt{3x+4}\right]^{3} - \frac{8}{3}\;\sqrt{3x+4} + C}$

     3.   $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{y}}{1 + \sqrt[3]{y}}\;dy}$

En este caso se debe sustituir "y" por una expresión que posea tanto raíz cuadrada como cúbica, así $y = u^{6}, dy = 6u^{5}du$

         Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{\sqrt{y}}{1 + \sqrt[3]{y}}\;dy = \int \frac{\sqrt{u^{...

$\displaystyle {=6\;\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3} - u + arctan\;u + C}$

$\displaystyle {=\frac{6}{7}\;(\sqrt[6]{y})^{7} - \frac{6}{5}\;(\sqrt[6]{y})^{5} + 2(\sqrt[6]{y})^{3} - 6 \sqrt[6]{y} + 6\;arctan\;\sqrt[6]{y} + C}$

     4.  $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(x+1)^{\frac{2}{3}}}}$

           sea $u^{3}= x+1$, $3u^{2}du = dx$, además $\displaystyle {x=u^{3} - 1}$

           Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(x+1)^{\frac{2}{3}}}=\frac{(u^{3}-1)3u^{2}du}{(u^{3})^{\frac{2}{3}}}=3\int \frac{u^{2}(u^{3}-1)\;du}{u^{2}}}$

$\displaystyle {=3 \int (u^{3}-1)\;du = 3\left[ \frac{u^{4}}{4} - u\right] + C}$

$\displaystyle {=\frac{3}{4}(\sqrt[3]{x+1})^{4} - 3\;\sqrt[3]{x+1} + C}$

 

     5. $\displaystyle {\int \frac{dx}{1+\sqrt[3]{x-2}}}$   Ejercicio para el estudiante

     6. $\displaystyle {\int \frac{dx}{2\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}}}$    Ejercicio para el estudiante

     7. $\displaystyle {\int x(2+x)^{\frac{2}{3}}}$      Ejercicio para el estudiante

     8. $\displaystyle {\int (x^{3}+3)^{\frac{1}{4}}\;x^{5}\;dx}$

           sea $u^{4}= x^{3}+3$, $4u^{3}du = 3x^{2}dx$, $\displaystyle {\frac{4}{3}u^{3}du = x^{2}dx}$, Además $\displaystyle {x^{3}=u^{4} - 3}$

           Sustituyendo

$\displaystyle {\int (x^{3}+3)^{\frac{1}{4}}x^{3}\cdot x^{2}dx = \int (u^{4})^{\frac{1}{4}}(u^{4}-3)\;\frac{4}{3}\;u^{3}\;du}$

$\displaystyle {= \frac{4}{3}\;u(u^{4}-3)u^{3}\;du = \frac{4}{3}\int (u^{8} - u^{4})\;du}$

$\displaystyle {=\frac{4}{3} \left[\frac{u^{9}}{9} - \frac{u^{5}}{5} \right] + C}$

$\displaystyle {=\frac{4}{27} \left[\sqrt[4]{x^{3}+3} \right]^{9} - \frac{4}{15}\;(\sqrt[4]{x^{3}+3})^{5} + C}$

     9. $\displaystyle {\int x^{5}(3x^{2}+4)\;dx}$ Ejercicio para el estudiante

     10.$\displaystyle {\int \sqrt{6+y}(y+2)^{2}\;dy}$ Ejercicio para el estudiante

Inicio
 Revista digital Matemática, Educación e Internet.