Integral Indefinida

Lic. Elsie Hernández S.

Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas

A partir de las fórmulas estudiadas en el capítulo de derivación sobre las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, pueden determinarse varias integrales indefinidas.

1.

Como $\displaystyle {D_x\;arcsen\;x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}$ entonces $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = arcsen\;x + C }$

Además $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = arcsen \left(\frac{x}{a}\right) + C,\;a > 0}$ (Compruébelo)

En general

$\displaystyle {\int \frac{f'(x)\;dx}{\sqrt{a^{2} - [f(x)]^{2}}} = arcsen \left(\frac{f(x)}{a} \right) + C,\;a > 0}$

Ejemplos:


a.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \int \frac{dx}{\sqrt{3^{2} - x^{2}}} = arcsen \left(\frac{x}{3} \right) + C}$

b.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{8 - x^{2}}} = \int \frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{8})^{2} - x^{2}}} = arcsen \left(\frac{x}{\sqrt{8}} \right) + C}$

c.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^{2}}} = \int \frac{dx}{\sqrt{1 - (2x)^{2}}} = \frac{1}{2} \int \frac{2\;dx}{\sqrt{2 - (2x)^{2}}}}$
	$\displaystyle {= \frac{1}{2}\;arcsen (2x) + C}$ Note que

d.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{9 - 7x^{2}}} = \int \frac{dx}{\sqrt{3^{2} -... ... \frac{1}{\sqrt{7}} \int \frac{\sqrt{7}\;dx}{\sqrt{3^{2} - (\sqrt{7}\;x)^{2}}}}$
	$\displaystyle {= \frac{1}{\sqrt{7}}\;arcsen \left(\frac{\sqrt{7}\;x}{3} \right) + C}$

e.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{16 - (x+1)^{2}}} = arcsen \left(\frac{x+1}{4}\right) + C}$

f.	$\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{\sqrt{9 - (3-x^{2})^{2}}} = \frac{-1}{2}\int \... ...9 - (3-x^{2})^{2}}} = \frac{-1}{2}\;arcsen \left(\frac{3-x^{2}}{3} \right) + C}$
	Note que $f(x)= 3 - x^{2}$ y $f'(x)=-2x\;dx$

g.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4 - 2x - x^{2}}}}$
	En este caso debe "completarse cuadrados" en la expresión que aparece en el subradical como sigue a continuación:
	$\displaystyle {4-2x-x^{2} = 4-(x^{2}+2x) = 4-(x^{2}+2x+1-1)}$
	$\displaystyle {= 4-(x+1)^{2}-1 = 3-(x+1)^{2}+1 = 5-(x+1)^{2}}$
	Sustituyendo en la integral
	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4-2x-x^{2}}} = \int \frac{dx}{\sqrt{5-(x+1)^{2}}} = arcsen \left(\frac{x+1}{\sqrt{5}}\right) + C}$

h.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{-4x^{2} + 12x }}}$
	Volvemos a completar cuadrados en el subradical
	$\displaystyle {-4x^{2}+12x = -(4x^{2}-12x) = -(4x^{2}-12x+9-9)}$
	$\displaystyle {=-(2x-3)^{2}-9 = 9-(2x-3)^{2}}$
	Sustituyendo:
	$\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{-4x^{2} + 12x }} = \int \frac{dx}{\sqrt{9-(2x-3)^{2}}} = \frac{1}{2}\int \frac{2\;dx}{\sqrt{9-(2x-3)^{2}}}}$
	$\displaystyle {=\frac{1}{2}\;arcsen \left( \frac{2x-3}{3}\right) + C}$

i.	, En este caso se separa en dos integrales
	$\displaystyle {=\int \frac{x\;dx}{\sqrt{3-2x^{2}}} + \int \frac{3\;dx}{\sqrt{3-2x^{2}}}}$
	$\displaystyle {=\int x(3-2x^{2})^{\frac{-1}{2}}\;dx + 3\;\int \frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2}\;x)^2}}}$
	$\displaystyle {=\frac{-1}{4} \int -4x(3-2x^{2})^{\frac{-1}{2}}\;dx + \frac{3}{\sqrt{2}} \int \frac{\sqrt{2}\;dx}{\sqrt{(\sqrt{3})-(\sqrt{2}\;x)^{2}}}}$
	$\displaystyle {=\frac{-1}{4}\;\frac{(3-2x^{2})^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}}\;arcsen \left( \frac{\sqrt{2}\;x}{\sqrt{3}}\right) + C}$
	$\displaystyle {=\frac{-1}{2}\;\sqrt{3-2x^{2}} + {\frac{3}{\sqrt{2}}}\;arcsen \left(\frac{\sqrt{2}\;x}{\sqrt{3}}\right) + C}$

j.	$\displaystyle {\int \frac{(2+x)\;dx}{\sqrt{4-2x-x^{2}}}}$
	$\displaystyle {=\int \frac{x\;dx}{\sqrt{4-2x-x^{2}}} + \int \frac{2\;dx}{\sqrt{4-2x-x^{2}}}}$
	$\displaystyle {= \frac{-1}{2} \int \frac{-2x\;dx}{\sqrt{4-2x-x^{2}}} + 2\int \frac{dx}{\sqrt{4-2x-x^{2}}}}$
	$\displaystyle {= \frac{-1}{2} \int \frac{-2x-2+2}{\sqrt{4-2x-x^{2}}} \;dx + 2\int \frac{dx}{\sqrt{4-2x-x^{2}}}}$
	$\displaystyle {= \frac{-1}{2} \int \frac{(-2x-2)}{\sqrt{4-2x-x^{2}}}\;dx - \frac{1}{2}\int \frac{2\;dx}{\sqrt{4-2x-x^{2}}} + 2 \int \frac{dx}{\sqrt{4-2x-x^{2}}}}$
	$\displaystyle {=\frac{-1}{2}\int (-2x-2)\;(4-2x-x^{2})^{\frac{-1}{2}}\;dx + \int \frac{dx}{\sqrt{5-(x+1)^{2}}}}$
	$\displaystyle {=\frac{-1}{2}\;\frac{(4-2x-x^{2})^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + arcsen \left(\frac{x+1}{\sqrt{5}}\right) + C}$
	$\displaystyle {=-\sqrt{4-2x-x^{2}} + arcsen \left(\frac{x+1}{\sqrt{5}}\right) + C}$

k.	$\displaystyle {\int \frac{(2x-3)}{\sqrt{1-4x^{2}}}\;dx}$ Ejercicio para el estudiante

l.	$\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{\sqrt{3-2x-x^{2}}}}$ Ejercicio para el estudiante

ll.	$\displaystyle {\int \frac{(2x+3)}{\sqrt{5-x^{2}-4x}}\;dx}$ Ejercicio para el estudiante

2.

Como $\displaystyle {D_x\;arctan\;x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$ entonces $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = arctan\;x + C }$

Además $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{a}\;arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C}$ , donde (ĄCompruébelo!)

En general $\displaystyle {\int \frac{f'(x)\;dx}{a^{2} + [f(x)]^{2}} = \frac{1}{a}\;arctan \left(\frac{f(x)}{a} \right) + C}$

Ejemplos:


a.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{9+x^{2}} = \int \frac{dx}{3^{2} + x^{2}} = \frac{1}{3}\;arctan \frac{x}{3} + C}$

b.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{2+ 4x^{2}} = \int \frac{dx}{(\sqrt{2})^{2} + (2x)^{2}}= \frac{1}{2} \int \frac{2\;dx}{(\sqrt{2})^{2} + (2x)^{2}}}$
	$\displaystyle {=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\;arctan \left(\frac{2x}{\sqrt{2}}\right) + C = \frac{1}{2 \sqrt{2}} arctan(\sqrt{2}\;x) + C}$

c.	$\displaystyle {\int \frac{x+2}{5+2x^{2}}\;dx}$ En este caso se separa en dos integrales, como sigue

	$\displaystyle {=\frac{x\;dx}{5+2x^{2}} + \int \frac{2\;dx}{5+2x^{2}}}$
	$\displaystyle {=\frac{1}{4} \int \frac{4x\;dx}{5+2x^{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}}\int \frac{\sqrt{2}\;dx}{(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{2}x)^{2}}}$
	$\displaystyle {=\frac{1}{4}\;ln\;\vert 5+2x^{2}\vert + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\; arctan \frac{\sqrt{2}\;x}{\sqrt{5}} + C}$

d.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{4x^{2}+4x+3}\;dx}$ En este caso se "completa cuadrados" en la
	expresión que está en el denominador.
	$\displaystyle {4x^{2}+4x+3 = 4x^{2}+4x+4-1+3 = 4x^{2}+4x+1+2}$
	$\displaystyle {=(2x+1)^{2} + 2}$
	Sustituyendo en la integral:
	$\displaystyle {\int \frac{dx}{4x^{2}+4x+3} = \int \frac{dx}{(2x+1)^{2} + 2} = \frac{1}{2} \int \frac{2\;dx}{(\sqrt{2})^{2} + (2x+1)^{2}}}$
	$\displaystyle {= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\;arctan \left(\frac{2x+1}{\sqrt{2}}\right) + C}$
e.	$\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{2}+2x+5}}$ Ejercicio para el estudiante

f.	$\displaystyle {\int \frac{3x\;dx}{x^{2}+6x+12}}$
	$\displaystyle {=\frac{3}{2} \int \frac{2x\;dx}{x^{2}+6x+12} = \frac{3}{2} \int \frac{2x+6-6}{x^{2}+6x+12}\;dx}$
	$\displaystyle {=\frac{3}{2} \int \frac{(2x+6)\;dx}{x^{2}+6x+12} + \frac{3}{2} \int \frac{-6\;dx}{x^{2}+6x+12}}$
	$\displaystyle {=\frac{3}{2} \int \frac{(2x+6)\;dx}{x^{2}+6x+12} -9 \int \frac{dx}{3+(x+3)^{2}}}$
	$\displaystyle {=\frac{3}{2}\;ln\;\vert x^{2}+6x+12\vert - \frac{9}{\sqrt{3}} arctan \left( \frac{x+3}{\sqrt{3}}\right) + C}$

g.	$\displaystyle {\int \frac{2x^{3}\;dx}{2x^{2}-4x+3}}$
	En este caso se debe hacer primero la división, pues el exponente de la variable en el numerador es mayor que el exponente de la variable en el denominador.
	$\displaystyle {\int \frac{2x^{3}}{2x^{2}-4x+3}\;dx = \int (x+2) + \frac{5x-6}{2x^{2}-4x+4}\;dx}$

	$\displaystyle {=\int (x+2)\;dx + \frac{5}{4}\int \frac{4x\;dx}{2x^{2}-4x+3} -6 \int \frac{dx}{2x^{2}-4x+3}}$
	$\displaystyle {=\int (x+2)\;dx + \frac{5}{4}\int \frac{(4x-4+4)\;dx}{2x^{2}-4x+3} -6 \int \frac{dx}{2x^{2}-4x+3}}$
	$\displaystyle {=\int (x+2)\;dx + \frac{5}{4}\int \frac{(4x-4)\;dx}{2x^{2}-4x+3} + \frac{5}{4} \int \frac{4\;dx}{2x^{2}-4x+3} -6 \int \frac{dx}{2x^{2}-4x+3}}$
	$\displaystyle {=\frac{(x+2)^{2}}{2} + \frac{5}{4} \;ln\;\vert 2x^{2}-4x+3\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}x - \sqrt{2})^{2} + 1}}$
	$\displaystyle {=\frac{(x+2)^{2}}{2} + \frac{5}{4} \;ln\;\vert 2x^{2}-4x+3\vert -\frac{1}{\sqrt{2}}\; arctan(\sqrt{2}x - \sqrt{2}) + C}$

h.	$\displaystyle {\int \frac{3x^{3}\;dx}{4x^{2}+12x+13}\;dx}$ Ejercicio para el estudiante